Un vecteur est couramment représenté dans le plan par un segment orienté. Le point de départ du segment est appelé origine, et le point d'arrivée est appelé extrémité. Par exemple, le vecteur \( \vec{AB} \) est défini par deux points distincts A et B, avec A comme origine et B comme extrémité. Sur un repère cartésien, chaque vecteur peut être décrit par ses composantes, qui sont les différences des coordonnées de l'extrémité et de l'origine : si A(x1, y1) et B(x2, y2), alors \( \vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \).
Définition
Définition d'un vecteur
En mathématiques, un vecteur est une entité géométrique définie par une direction, un sens et une longueur (ou norme). Il est généralement représenté par un segment fléché et noté par une lettre avec une flèche au-dessus, par exemple \( \vec{u} \). Un vecteur ne possède pas de position précise.
Vecteurs égaux
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Dans un plan, cela signifie que les segments qui représentent ces vecteurs sont parallèles et de même longueur.
Notion de norme d'un vecteur
La norme d'un vecteur, notée \( \|\vec{u}\| \), est la longueur du segment fléché représentant le vecteur. Elle se calcule à partir des coordonnées du vecteur par la formule \( \sqrt{x^2 + y^2} \) dans un plan.
Représentation des vecteurs
Opérations sur les vecteurs
Les vecteurs peuvent être additionnés et multipliés par des scalaires. L'addition de deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) consiste à placer le point d'origine de \( \vec{v} \) à l'extrémité de \( \vec{u} \), puis à dessiner le vecteur allant de l'origine de \( \vec{u} \) à l'extrémité de \( \vec{v} \). Les composantes de leur somme sont simplement la somme des composantes de \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \). La multiplication d'un vecteur \( \vec{u} \) par un scalaire \( k \) dilate ou contracte le vecteur par ce facteur, affectant uniquement sa norme.
Vecteurs et géométrie
En géométrie, les vecteurs sont utilisés pour décrire des translations. Une translation de vecteur \( \vec{u} \) déplace chaque point d'une figure de la même manière que \( \vec{u} \) déplace son origine à son extrémité. En termes de coordonnées, si un point P(x, y) est translaté par \( \vec{u} = (a, b) \), son image P’ a pour coordonnées (x+a, y+b). Les vecteurs jouent un rôle essentiel également dans les vecteurs normaux, perpendiculaires aux surfaces, et sont très utilisés en physique pour décrire des forces et des vitesses.
A retenir :
- Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa norme, sans position fixe.
- Deux vecteurs sont égaux s'ils sont parallèles, de même sens et même norme.
- Les coordonnées d'un vecteur se calculent à partir des coordonnées des points d'origine et d'extrémité.
- L'addition de vecteurs et la multiplication par un scalaire sont des opérations fondamentales.
- Les vecteurs sont essentiels en géométrie pour décrire des translations et en physique pour modéliser des vecteurs forces ou vitesse.