Définitions

Un vecteur non nul est caractérisé par la donnée de trois éléments : une direction, un sens et une longueur (appelée aussi norme).

Le vecteur nul est un vecteur de longueur zéro. Sa direction et son sens ne sont pas définis.

Notations

• On note généralement les vecteurs avec une lettre minuscule surmontée d'une flèche : i, 0, etc. Le vecteur nul est noté 0.
• La norme (ou longueur) d'un vecteur est'un nombre positif ou nul noté || Tll.
• L'ensemble des vecteurs du plan est noté V?, et l'ensemble des vecteurs de l'espace est noté V3

Remarques

• Attention : la notion mathématique de direction n'est pas la même que dans le langage courant : lorsqu'on dit que depuis Lausanne il faut aller « direction Genève », en géométrie I s'agit en fait d'un sens et non d'une direction (pour la direction Lausanne-Genève, il y a deux sens possibles : le sens Lausanne → Genève et le sens Genève → Lausanne)
• La notion de direction est liée à celle de parallélisme: deux droites sont de même direction si et seulement si elles sont parallèles. Pour une direction donnée, il y a deux.
• sens possibles.

Définition

Afin de représenter un vecteur non nul, on choisit un point quelconque, puis on trace une flèche partant de ce point et ayant la direction, le sens et la longueur de . Cette flèche s'appelle un représentant du vecteur v

Le vecteur nul est représenté par un point quelconque.

Remarques

• Pour un vecteur donné il existe une infinité de représentants : il s'agit de toutes les considéré comme une flache (avant une direction. un sens et une longueur donnés) qui n' flèches ayant la direction. le sens et la longueur de ce vecteur. Un vecteur peut être pas de position fixe dans le plan ou dans l'espace donc une flèche pouvant se déplacer

Plusieurs représentants du même vecteur

• Par abus de langage, nous ne ferons rénéralement pas la différence entre un vecteur et un représentant de ce vecteur. Mais il est important de se rappeler de la distinction entre les deux: un représentant d'un vecteur a une position fixe (dans le plan ou dans

l'espace), mais pas le vecteur lui-même

Notations

• Pour deux points A et B, on note AB le vecteur ayant pour représentant la flèche

• partant de A et allant jusqu'à B.

• Soient A un point et v un vecteur. Il est possible de montrer qu'il existe un unique point

B tel que v = AB. On le note B = A + v

Attention : il s'agit seulement d'une notation; contrairement à l'addition de deux vecteurs (voir section 1.2), l'addition d'un point et d'un vecteur n'est pas définie..

• B=A+ v

Remarque

Pour tout point A, on a AA = 0.

Proposition 1.1

Soient A, B, C et D des points. Alors AB = CD → ACDB est un parallélogramme.

Remarque :

AB = CD -> <- la translation qui envoie A sur B envole aussi C sur D

1.2 Opérations sur les vecteurs

Définition (Addition de deux vecteurs)

Soient a et b deux vecteurs. On définit l'addition (ou somme) a + b de a et b de la façon suivante : on choisit un point (quelconque) A. Notons B = A + a et C= B + b. On définîtes alors a + b = AB + BC = AC.

Remarques

• Afin de représenter la somme à + b, par définition il suffit de représenter les vecteurs à et 6 « bout à bout ».
• On peut aussi déterminer le vecteur a + 6 grâce à la « règle du parallélogramme ».

Définition

Soit a un vecteur non nul. L'opposé de a, noté -a est le vecteur ayant la même direction et la même longueur que a, et le sens opposé de a.

L'opposé du vecteur nul est défini par -0 = 0.

Proposition 1.2

Soient a, b et c trois vecteurs. Alors

1. a + b = b + a (commutativité)
2. (a+b) + c = a + (b+c） (associativité)
3. a + 0 = a (0 est l'élément neutre pour l'addition)
4. a + (-a) = 0 (vecteurs opposés)

Remarque

Les 3ª et 4° égalités sont évidentes. Nous pouvons justifier les deux premières égalités à l'aide des illustrations suivantes :

Remarque

Par la propriété d'associativité, les parenthèses n'ont pas d'importance pour l'addition, On peut donc les enlever et écrire simplement a + b + c.

Définition

On définit la soustraction de a et b par b - a = b + (-a)

Proposition 1.3

Soient A, B et C trois points. Alors

1. AB + BC = AC (règle de Chasles)
2. BA = -AB

Exemple

Soient A, B, C et D des points quelconques. Simplifions l'expression AC - AD + CB - DB

A l'aide de la proposition précédente, on calcule :

AC - AD + CB - DB = AC + DA + CB + BD = AC + DẢ + CD = AC + CD + DẢ = AD + DẢ =AA = 0

Définition (Multiplication d'un vecteur par un nombre réel)

Soient a un vecteur et X un nombre réel. On définit la multiplication de a par X, notée Xa de la manière suivante :

• Si X = 0 ou a = 0, on définit Xa = 0

. Si X = 0 et a = 0, alors Xa est défini comme le vecteur ayant :

1. la direction de a :
2. le sens de a si X > 0 et le sens opposé de a si X < 0 :
3. une longueur égale à X a .

Remarque

Soit a un vecteur. Alors (-1)a = -a.

Proposition 1.4

Soient a, b deux vecteurs et X, u deux nombres réels. Alors

1. X(a + b) = Xa + Xb
2. (X + u ) a = Xa + ua
3. X(ua) = (Xu)a

Définition

On dit que le vecteur a est combinaison linéaire des vecteurs ,......, s'il existe des nombres réels ,..., tels que :

Exemple

Le vecteur v = est une combinaison linéaire des vecteurs a, b et c.

Exemples

a) Représentons ci-dessous les vecteurs u et v définis par les combinaisons linéaires suivantes :

On construit les vecteurs u et v en partant d'un point quelconque et en utilisant les définitions des opérations sur les vecteurs :

b) Ecrivons le vecteur v comme combinaison linéaire des vecteurs a et b représentés ci-dessous.

Pour faire cela on commence par "reconstruire" le vecteur v en utilisant uniquement les directions données par a et b :

Ainsi v est la somme de , et donc v =

(Remarque: il y a plusieurs possibilites pour résoudre ce problème, mais elles aboutissent toutes à la même combinaison linéaire.)

1.3 Colinéarité et coplanarité

Définition :

Des vecteurs non nuls sont dits colinéaires s'ils ont la même direction:

Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.

Exemple

• a et b sont colinéaires
• a, b et d sont colinéaires
• a et c ne sont pas colinéaires
• a et 0 sont colinéaires

Remarque :

Des vecteurs sont colinéaires si et seulement s'il est possible de les représenter sur une même droite.

Théorème 1.5 (Critère de colinéarité I)

Soient a et b deux vecteurs non nuls. Alors

a et b sont colinéaires → il existe

Exemple

Dans le rectangle ci-dessous, L est le point milieu du segment [AD], et les points M et N divisent le segment [BC] en trois segments de même longueur. Donner tous les vecteurs colinéaires au vecteur AD que l'on peut définir avec les différentes lettres, puis les écrire comme le produit de AD par un nombre réel.

Les vecteurs colinéaires à AD sont les 9 vecteurs suivants :

AD = BC = 1AD BM = MN = NC = AD

DA = CB = (-1)AD MB = NM = CN = (- )AD

AL = LD = (-1)AD BN = MC = AD

AL = LD = AD NB = CM =(- )AD

LA = LD = (- )AD AA = BB = .... = 0 = 0AD

Proposition 1.6

Soient, A et B et C trois points. Alors

A, B, C sont alignés -> <- les vecteurs AB et AC sont colinéaires

Remarque

La colinéarité s'applique à des vecteurs tandis que l'alignement s'applique à des points; il ne faut donc pas confondre ces deux notions.

Définition

Des vecteurs de l'espace sont dits coplanaires s'il est possible de les représenter dans un même plan.

Théorème 1.7 (Critère de coplanarité I)

Trois vecteurs de l'espace sont coplanaires si et seulement si l'un de ces vecteurs (au moins) peut s'écrire comme combinaison linéaire des deux autres.

Exemple

On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous.

• On remarque graphiquement que les vecteurs AD, AE et FC sont coplanaires, car FC = ED. Dans ce cas, on peut (par exemple) écrire FC = AD - AE, donc FC peut s'écrire comme combinaison linéaire des deux autres vecteurs.
• On remarque graphiquement que les vecteurs AD, AE et HG ne sont pas coplanaires. (Donc par le critère de coplanarité I, aucun de ces trois vecteurs ne peut s'écrire comme combinaison linéaire des deux autres.)

Remarques

• Deux vecteurs de l'espace sont toujours coplanaires.
• Trois vecteurs de l'espace, dont deux sont colinéaires, sont toujours coplanaires.

Bases et repères

Dans ce chapitre, nous allons voir comment écrire des points et des vecteurs à l'aide de nombres réels (les coordonnées pour les points et les composantes pour les vecteurs). Un premier avantage à cela est qu'il sera possible de se libérer de la représentation géométrique des points et des vecteurs; nous pourrons faire du calcul avec leurs coordonnées et composantes sans avoir besoin de les représenter. Un autre avantage important est qu'avec cette approche, il sera possible de décrire des figures géométriques (droites, plans, cercles, sphères, etc.) par des équations, et donc nous pourrons utiliser l'algèbre, qui s'avèrera être un outil particulièrement" efficace pour résoudre des problèmes géométriques.

2.1 Bases et composantes

Exemple d'introduction

Considérons les deux vecteurs du plan et non colinéaires ainsi que le vecteur a représentés ci-dessous. On peut écrire a comme combinaison linéaire de et :

a = 2e - 3e

Nous allons voir que par rapport aux vecteurs e et e (qui formeront une base V2), le vecteur a = 2e - 3e pourra s'écrire plus simplement

a =

En écrivant de manière analogue n'importe quel vecteur du plan, cette écriture permettra de faire du calcul vectoriel de manière plus efficace.

Cas du plan

Théorème 2.1

Soient e et e deux vecteurs non colinéaires du plan. Alors tout vecteur du plan peut s'écrire de manière unique comme combinaison linéaires de e et e En d'autres termes, pour tout vecteur a du plan, il existe deux uniques nombres réels a1, a2 tels que a = a1e1 + a2e2.

Définitions

Une base de V2 est un couple de vecteurs non colinéaires e1, e2 du plan, notée B = (e1;e2)

Pour tout vecteur a du plan, les nombres a1 et a2 tels que a = a1e1 + a2e2 s'appellent les composantes de a relativement à la base B

On note le vecteur a = Ainsi, on a

a =

Déterminons les composantes du vecteur AE dans les bases suivantes :

1. On calcule AE = AO + OE = 1OD + 1OE, et donc AE = dans la base B1.

2.On calcule AE = AD + DE = -2CB + CO, et donc AE = dans la base B2

Remarques

• Les composantes d'un vecteur sont définies par rapport à une base déterminée. Donc les composantes d'un vecteur relativement a une certaine base seront en général différentes des composantes du même vecteur relativement à une autre base.
• Lorsqu'un vecteur a du plan sera défini par ses composantes sans préciser la base.
• il sera toujours sous-entendu que ces composantes sont données relativement à une base B = (e1:e2) de V2 fixée (de même pour les vecteurs de l'espace que nous verrons plus loin).

Proposition 2.2

Soient a = et b = deux vecteurs du plan, et soit Alors :

Par définition, on a a = a1e1 + a2e2 et b = b1e1 + b2e2 donc

a = b --> a1e1 + a2e2 = b1e1 + b2e2 --> <-- a1 = b1 et a2 = a1 = a2 par unicité de la combinaison linéaire.

Les autres égalités se montrent de la même manière que le point 1 et sont laissées en exercice.

Cas de l'espace

Le cas de l'espace est presque identique à celui du plan.

Théorème 2.3

Soient e1, e2 et e3 trois vecteurs non coplanaires de l'espace. Alors tout vecteur de l'espace peut s'écrire de manière unique comme combinaison linéaire de e1, e2 et e3. En d'autres termes, pour tout vecteur a de l'espace, il existe trois uniques nombres réels a1, a2 et a3 tels que a = a1e1 + a2e2 + a2e3

Définitions

Une base de V3 est un triplet de vecteurs non coplanaires e1, e2, e3 de l'espace, notée B = (e1 : e2 : e3 )

Pour tout vecteur a de l'espace, les nombres a1, a2 et a3 tels que a = a1e1 + a2e2 + a3e3 s'appellent les composantes de a relativement à la base B.

On note le vecteur a = Ainsi, on a

Exemple

Considérons la base B = (e1; e2 ; e3) et le vecteur à représentés ci-dessous.

Dans cet exemple a = 3ei1+ e2 + 2e3, donc dans la base B on a a =

Proposition 2.4

Soient a = et b = deux vecteurs de l'espace, et soit Alors

1. a +b =
2. Xa =
3. a = b

Critère de colinéarité

Rappel (Critère de colinéarité I)

Soient a et b deux vecteurs non nuls. Alors

a et b sont colinéaires --> <-- il existe tel que b = Xa

Exemples

1. Déterminons si les vecteurs et sont colinéaires ou non

Ces deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s'il existe tel que

Ainsi l'égalité est vérifié avec X = , donc ces deux vecteurs sont colinéaires

2. Déterminons si les vecteurs et sont colinéaires ou non

Ces deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s'il existe tel que

On obtient une impossibilité, donc ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.

Critères de colinéarité et de coplanarité avec le déterminant (MR)

Définition

1. Soient a = et b = deux vecteurs de plan. Le déterminant de a et b est le nombre réel noté det(a : b) et défini par

1. Soient a = , b = et c = trois vecteurs de l'espace. Le déterminant de a, b etc est le nombre réel noté det(a ; b ; c) et défini par

Remarque (Règle de Sarrus)

il existe une méthode efficace pour calculer un déterminant 3x3 appelée " règle de Sarrus"

On commence par recopier les deux premières colonnes à droite du déterminant. Ensuite comme illustré ci-dessous, on additionne les diagonales « + » puis on soustrait les diagonales" « - »(chaque diagonale est obtenue en multipliant ses termes).

Exemple

Soient a = , b = , et c = trois vecteurs. En utilisant la règle de Sarrus,

on calcule

Théorème 2.5 (Critère de colinéarité 11)

Soient a et b deux vecteurs du plan. Alors

a et b sont colinéaires --> <-- det(a ; b ) = 0

Démonstration. Notons a = et b

Si a = 0 ou b = 0 alors l'équivalence est directe, car dans ce cas a et b sont colinéaires et on vérifie facilement que det(a ; b) = 0. Il reste par conséquent à démontrer l'équivalence dans le cas où a et b sont non nuls.

Supposons que a et b sont colinéaires. Par le critère de colinéarité l on peut écrire b = Xa pour un certain , et donc Ainsi on a

Supposons que det (a ; b) = 0. Alors a1b2 - a2b1, = 0 et donc a1b2 = a2b1.

• Si a1 = 0, alors b2 = . En posant X = , on a ainsi b2 = Xa2. comme de plus b1 = , on obtient = = = X =Xa

• Si a1 = 0, alors a2 = 0 (car a = 0) et donc b1 = . En posant X = , on montre de la même manière qu'avant que b = Xa.

Ainsi on a montré dans les deux cas que b = Xa pour un certain , et donc a et b sont colinéaires par le critère de colinéarité I.

Exemple

Déterminons si les vecteurs a = et b = sont colinéaires.

On calcule

det (a; b) =

Comme det (a; b) = 0, les vecteurs a et b sont colinéaires.

Remarque

Le critère de colinéarité Il n'est valable que dans le cas du plan. Pour tester la colinéarité de deux vecteurs de l'espace, il faut utiliser le critère de colinéarité l.