Une suite (un) est dite convergente lorsqu'il existe un nombre réel L tel que pour tout ε>0, il existe un entier N tel que pour tout n ≥ N, l'écart entre un et L soit inférieur à ε. En d'autres termes, plus nous progressons dans la suite, plus les termes deviennent proches de ce nombre réel L, appelé limite.

Par exemple, la suite définie par un = 1/n converge vers 0. Au fur et à mesure que n augmente, les termes de la suite deviennent de plus en plus petits, se rapprochant indéfiniment de 0. Autre exemple classique : la suite géométrique de raison r avec -1 < r < 1. Par exemple, un = (1/2)^n converge vers 0.

Une suite (un) est dite divergente dans deux cas possibles : si elle tend vers l'infini ou si elle n'atteint aucune valeur limite précise. Cela signifie que les termes de la suite, au lieu de s'approcher d'un nombre fixe, continuent de croître ou fluctuent indéfiniment sans se stabiliser.

Un exemple de suite divergente est la suite définie par un = n, qui tend vers l'infini. Au fur et à mesure que n augmente, les termes deviennent de plus en plus grands. Un autre exemple est la suite oscillante un = (-1)^n. Les termes de cette suite alternent entre -1 et 1 sans jamais se stabiliser ou converger vers une limite précise.

Pour déterminer si une suite est convergente ou divergente, plusieurs critères peuvent être utilisés : 1. **Critère de convergence classique :** Vérifier si les termes se rapprochent d'une limite précise. 2. **Critère de divergence par les limites infinies :** Si les termes augmentent sans borne, la suite diverge vers l'infini. 3. **Suite bornée :** Une suite convergente est toujours bornée. Si elle n'est pas bornée, elle ne peut pas être convergente. 4. **Comportement oscillant :** Si une suite alterne indéfiniment entre plusieurs valeurs sans stabilisation, elle est divergente.