L'équation générale du second degré ax² + bx + c = 0 représente une parabole dans le plan cartésien. Le discriminant Δ = b² - 4ac est crucial pour déterminer la nature des racines : si Δ > 0, il y a deux racines réelles et distinctes ; si Δ = 0, il y a une racine réelle double ; et si Δ < 0, il n'y a pas de racines réelles.

La forme canonique a(x - α)² + β peut être obtenue par complétion du carré. Elle permet facilement d'identifier le sommet de la parabole (α, β), où α = -b/(2a) et β est calculée en remplaçant x par α dans ax² + bx + c. La parabole s'ouvre vers le haut si a > 0 et vers le bas si a < 0. Cette forme est utile pour analyser les variations et tracer la courbe représentative.

Les variations de la fonction f(x) = ax² + bx + c dépendent du signe de a. La fonction est décroissante sur l'intervalle (-∞, α) et croissante sur (α, ∞) si a > 0, et décroissante sur (α, ∞) et croissante sur (-∞, α) si a < 0. La parabole est symétrique par rapport à la droite x = α. Pour esquisser la courbe représentative, il suffit de connaître le sommet, les racines (si elles existent) et l'ordonnée à l'origine (c).

La factorisation d'un polynôme du second degré se fait généralement en utilisant ses racines. S'il y a des racines réelles r₁ et r₂, le polynôme est factorisé en a(x - r₁)(x - r₂). Par ailleurs, la somme et le produit des racines sont donnés par -b/a et c/a respectivement, une propriété utile pour résoudre notamment les équations sans calcul explicite des racines.