Pour appliquer le théorème de Pythagore, il est essentiel d’identifier correctement le triangle rectangle et en particulier son hypoténuse. Supposons un triangle rectangle ABC, où l’angle droit est en A. Les côtés AB et AC sont appelés les côtés adjacents, tandis que BC est l’hypoténuse. Selon le théorème, on a la relation : BC² = AB² + AC².
Définition du théorème de Pythagore
Définition
Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Triangle rectangle
Un triangle est dit rectangle s’il comporte un angle droit, c’est-à-dire un angle de 90°.
Hypoténuse
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit et c’est le côté le plus long du triangle.
Utilisation du théorème de Pythagore
Ce théorème est extrêmement utile pour calculer la longueur d'un côté d’un triangle rectangle lorsque l’on connaît les longueurs des deux autres côtés. Par exemple, si l'on connaît les longueurs des côtés adjacents, on peut utiliser la relation pour trouver l’hypoténuse : BC = √(AB² + AC²).
Exemples d'application
Considérons un triangle rectangle avec des côtés de 3 cm et 4 cm. Pour trouver l’hypoténuse, on utilise le théorème de Pythagore : hypoténuse² = 3² + 4². Ainsi, hypoténuse² = 9 + 16 = 25. Cela signifie que l’hypoténuse mesure √25, soit 5 cm.
Dans un autre exemple, supposons que l’hypoténuse mesure 10 cm et un des côtés adjacents mesure 6 cm. Pour trouver l'autre côté, on écrit : 10² = 6² + autre côté². Cela donne 100 = 36 + autre côté², donc autre côté² = 64. L’autre côté mesure donc √64, soit 8 cm.
Limites du théorème de Pythagore
Il est crucial de noter que le théorème ne s'applique qu'aux triangles rectangles. Il n’est pas applicable aux triangles quelconques. Pour vérifier si un triangle est rectangle, on peut utiliser l'inverse du théorème de Pythagore. Si les longueurs a, b et c d’un triangle satisfont la relation c² = a² + b², alors le triangle est rectangle, où c est la plus grande longueur.
Résumé des notions clés
A retenir :
- Le théorème de Pythagore s'applique uniquement aux triangles rectangles.
- Hypoténuse : le côté opposé à l’angle droit.
- Formule clé : c² = a² + b², avec c comme hypoténuse.
- Utilisé pour calculer la longueur d'un côté manquant.
- Pas applicable aux triangles non rectangles.