MATHS Chap 1ab | Partielo

Les ensembles N et Z

Définition

Ensemble des entiers naturels (ℕ)

L'ensemble des entiers naturels, noté ℕ, est l'ensemble des nombres entiers positifs incluant zéro. Il contient des nombres comme 0, 1, 2, 3, etc.

Ensemble des entiers relatifs (ℤ)

L'ensemble des entiers relatifs, noté ℤ, est l'ensemble des nombres entiers positifs et négatifs, incluant zéro. Il comprend des nombres comme -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, etc.

Opérations dans ℕ et ℤ

Les opérations que l'on réalise dans les ensembles ℕ et ℤ incluent l'addition, la soustraction, et la multiplication. Dans ℕ, pour les nombres comme 3 et 2 :

Addition: 3 + 2 = 5
Multiplication: 3 × 2 = 6

La soustraction n'est pas toujours possible en ℕ (par exemple, 2 - 3 n'est pas un entier naturel), mais elle l'est dans ℤ. Donc, pour -2 et 3 dans ℤ :

Addition: -2 + 3 = 1
Soustraction: -2 - 3 = -5
Multiplication: -2 × 3 = -6

Comparaison et ordre dans ℕ et ℤ

Dans ℕ, les nombres sont toujours positifs et peuvent être comparés simplement : 0 est inférieur à 1, 1 est inférieur à 2, etc. Dans ℤ, en plus de ces nombres, on trouve des nombres négatifs. Un nombre négatif est toujours inférieur à un nombre positif. Par exemple, -3 est plus petit que 0 et 2 est plus grand que -1.

Propriétés des ensembles

Définition

Commutativité

L'addition et la multiplication sont commutatives dans ℕ et ℤ. Cela signifie que pour tous nombres a et b, a + b = b + a et a × b = b × a.

Associativité

L'addition et la multiplication sont aussi associatives, ce qui signifie que pour tous les nombres a, b, et c, (a + b) + c = a + (b + c) et (a × b) × c = a × (b × c).

Ces opérations permettent de manipuler les nombres facilement en effectuant les calculs dans n'importe quel ordre.

Résumé des notions clés

A retenir :

ℕ : Entiers naturels (positifs + 0)
ℤ : Entiers relatifs (négatifs, positifs + 0)
Addition et multiplication sont commutatives et associatives.
Soustraction possible seulement dans ℤ.
Ordre : Négatif < Zéro < Positif.