proposition:
• Soit P une proposition. Alors, P ⇐⇒ P.
• Soient P et Q deux propositions. Si P ⇐⇒ Q, alors Q ⇐⇒ P.
• Soient P, Q, R trois propositions. Si P ⇐⇒ Q et Q ⇐⇒ R, alors P ⇐⇒ R.
2.1 Le connecteur « ET »
Étant données deux propositions P et Q, le connecteur ∧ (ET) permet de
fabriquer la nouvelle proposition P ∧ Q. Cette nouvelle proposition est vraie exactement
lorsque les deux propositions P et Q sont vraies.
Voici la table de vérité du « ET ».
proposition:
Soient P, Q, R des propositions. On a
• P ∧ P ⇐⇒ P (idempotence)
• P ∧ Q ⇐⇒ Q ∧ P (commutativité)
• (P ∧ Q) ∧ R ⇐⇒ P ∧ (Q ∧ R) (associativité)
Démonstration. Ceci se prouve en faisant des tables de vérité. Montrons par exemple
l’associativité.
Proposition : Soient P, Q, R des propositions. On a
• P ∨ P ⇐⇒ P
• P ∨ Q ⇐⇒ Q ∨ P
• (P ∨ Q) ∨ R ⇐⇒ P ∨ (Q ∨ R)
• P ∨ (Q ∧ R) ⇐⇒ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) (distributivité du OU par rapport au ET)
• P ∧ (Q ∨ R) ⇐⇒ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) (distributivité du ET par rapport au OU)
proposition:Soient P, Q des propositions. On a
• ¬¬P ⇐⇒ P
• ¬(P ∧ ¬P) (non contradiction)
• P ∨ ¬P (tiers exclu)
• ¬(P ∧ Q) ⇐⇒ ¬P ∨ ¬Q
• ¬(P ∨ Q) ⇐⇒ ¬P ∧ ¬Q (lois de Morgan)
proposition: Soient P, Q, R des propositions. On a
• ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)) ⇒ (P ⇒ R) (transitivité de l’implication)
• (P ⇒ Q) ⇐⇒ (¬P ∨ Q)
• (P ∨ Q) ⇐⇒ (¬P ⇒ Q)
• ¬(P ⇒ Q) ⇐⇒ (P ∧ ¬Q)
Définition 6. Étant données deux propositions P et Q, on crée une nouvelle proposition P ⇐⇒ Q. Cette proposition est vraie exactement dans le cas où P et Q ont la
même valeur de vérité.
Voici la table de vérité de « EQUIVAUT ».
P Q P ⇐⇒ Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Nous sommes maintenant en mesure de prouver la proposition 1. Le lecteur est invité à
faire une table de vérité.
Proposition. Soient P et Q deux propositions. Alors,
(P ⇐⇒ Q) ⇐⇒ ((P =⇒ Q) ∧ (Q =⇒ P))
Ainsi, pour montrer que P et Q sont équivalentes,
• On montre P =⇒ Q.
• On montre Q =⇒ P.
Pour montrer une équivalence il faut donc faire DEUX démonstrations.
proposition:
• Soit P une proposition. Alors, P ⇐⇒ P.
• Soient P et Q deux propositions. Si P ⇐⇒ Q, alors Q ⇐⇒ P.
• Soient P, Q, R trois propositions. Si P ⇐⇒ Q et Q ⇐⇒ R, alors P ⇐⇒ R.
2.1 Le connecteur « ET »
Étant données deux propositions P et Q, le connecteur ∧ (ET) permet de
fabriquer la nouvelle proposition P ∧ Q. Cette nouvelle proposition est vraie exactement
lorsque les deux propositions P et Q sont vraies.
Voici la table de vérité du « ET ».
proposition:
Soient P, Q, R des propositions. On a
• P ∧ P ⇐⇒ P (idempotence)
• P ∧ Q ⇐⇒ Q ∧ P (commutativité)
• (P ∧ Q) ∧ R ⇐⇒ P ∧ (Q ∧ R) (associativité)
Démonstration. Ceci se prouve en faisant des tables de vérité. Montrons par exemple
l’associativité.
Proposition : Soient P, Q, R des propositions. On a
• P ∨ P ⇐⇒ P
• P ∨ Q ⇐⇒ Q ∨ P
• (P ∨ Q) ∨ R ⇐⇒ P ∨ (Q ∨ R)
• P ∨ (Q ∧ R) ⇐⇒ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) (distributivité du OU par rapport au ET)
• P ∧ (Q ∨ R) ⇐⇒ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) (distributivité du ET par rapport au OU)
proposition:Soient P, Q des propositions. On a
• ¬¬P ⇐⇒ P
• ¬(P ∧ ¬P) (non contradiction)
• P ∨ ¬P (tiers exclu)
• ¬(P ∧ Q) ⇐⇒ ¬P ∨ ¬Q
• ¬(P ∨ Q) ⇐⇒ ¬P ∧ ¬Q (lois de Morgan)
proposition: Soient P, Q, R des propositions. On a
• ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)) ⇒ (P ⇒ R) (transitivité de l’implication)
• (P ⇒ Q) ⇐⇒ (¬P ∨ Q)
• (P ∨ Q) ⇐⇒ (¬P ⇒ Q)
• ¬(P ⇒ Q) ⇐⇒ (P ∧ ¬Q)
Définition 6. Étant données deux propositions P et Q, on crée une nouvelle proposition P ⇐⇒ Q. Cette proposition est vraie exactement dans le cas où P et Q ont la
même valeur de vérité.
Voici la table de vérité de « EQUIVAUT ».
P Q P ⇐⇒ Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Nous sommes maintenant en mesure de prouver la proposition 1. Le lecteur est invité à
faire une table de vérité.
Proposition. Soient P et Q deux propositions. Alors,
(P ⇐⇒ Q) ⇐⇒ ((P =⇒ Q) ∧ (Q =⇒ P))
Ainsi, pour montrer que P et Q sont équivalentes,
• On montre P =⇒ Q.
• On montre Q =⇒ P.
Pour montrer une équivalence il faut donc faire DEUX démonstrations.
