Les vecteurs peuvent être ajoutés ensemble ou multipliés par un scalaire. L'addition de deux vecteurs U = (xu, yu, zu) et V = (xv, yv, zv) donne un vecteur W = (xu + xv, yu + yv, zu + zv). La multiplication d'un vecteur par un scalaire k est donnée par kU = (kx, ky, kz).
Définitions de base
Définition
Vecteur
Un vecteur est un objet mathématique qui possède une direction, un sens, et une norme (longueur).
Norme d'un vecteur
La norme d'un vecteur est sa longueur. Pour un vecteur V = (x, y, z), sa norme est donnée par ||V|| = √(x² + y² + z²).
Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs sont colinéaires s'ils sont dans la même direction, c'est-à-dire s'il existe un réel k tel que V = kU.
Opérations sur les vecteurs
Coordonnées et repère de l'espace
Dans l'espace, nous utilisons généralement un repère orthonormé (O, i, j, k) où O est l'origine et i, j, k sont des vecteurs unitaires définissant les axes x, y et z, respectivement. Un point P de l'espace est alors repéré par ses coordonnées (x, y, z) et un vecteur OP par les coordonnées (x, y, z) dans ce repère.
Vecteurs Coplanaires
On dit que les vecteurs U, V et W sont coplanaires si et seulement si d'abord U et V ne sont pas coplanaires et qu'il existe x et y des réels tel que W = xU + yV
Représentation paramétrique d'une droite
Pour exprimer la représentation paramétrique d'une droite, on utilise les coordonnées des vecteurs : Soit A(x, y, z) un point de la droite et u(a, b, c) un vecteur directeur, la droite peut alors être représentée par le système à trois équations
x = x + ta, y = y + tb, z = z + tc, où t est un paramètre réel.
A retenir :
Les vecteurs sont des outils mathématiques essentiels pour décrire des objets ayant une direction et une magnitude dans l'espace. Les opérations vectorielles telles que l'addition ou la multiplication par un scalaire permettent de manipuler ces objets. Dans un repère de l'espace, les points sont exprimés par des vecteurs de coordonnées. Les droites, quant à elles, peuvent être représentées par des équations paramétriques de droites, facilitant ainsi leur étude dans l'espace tridimensionnel.