Définition
Transformation géométrique
Une transformation géométrique est une opération qui déplace ou modifie une figure géométrique dans un espace donné, tout en conservant certaines de ses propriétés.
Image
L'image est le résultat de l'application d'une transformation sur une figure géométrique donnée.
Invariant
Un invariant est une propriété qui reste inchangée lors d'une transformation géométrique.
Les Homothéties
Une homothétie est une transformation qui agrandit ou réduit une figure géométrique tout en conservant sa forme. Elle est définie par un centre d'homothétie et un rapport (ou coefficient) d'homothétie noté k. Si k > 1, la figure est agrandie; si 0 < k < 1, elle est réduite.
Dans une homothétie, les angles de la figure sont conservés. Les segments correspondants de l'image sont parallèles aux segments de la figure initiale, et leur longueur est multipliée par |k|.
La Symétrie Axiale
La symétrie axiale est une transformation qui consiste à 'refléter' une figure par rapport à une droite, appelée axe de symétrie. Chaque point de la figure initiale et son image sont à équidistance de l'axe.
Les segments de la figure et de son image dans une symétrie axiale sont égaux, et les angles formés par une figure et son image sont également égaux. Cette transformation conserve les distances et les angles.
La Symétrie Centrale
La symétrie centrale est une transformation qui pivote une figure autour d'un point central, appelé centre de symétrie. Chaque point de la figure est déplacé de manière à ce que le centre de symétrie soit le milieu du segment formé par ce point et son image.
Cette transformation conserve également les distances et les angles. Une symétrie centrale est équivalente à une rotation de 180 degrés.
Les Translations
Une translation est une transformation qui déplace chaque point d'une figure d'une même distance dans une même direction. Elle est définie par un vecteur qui donne la direction et la longueur du déplacement.
La translation conserve les longueurs des segments et les mesures des angles. Les figures initiale et image sont donc isométriques.
Les Rotations
La rotation est une transformation qui fait tourner une figure autour d'un point fixe appelé centre de rotation, selon un angle donné. Les points du plan pivotent autour de ce centre selon cet angle et dans le sens défini.
Dans une rotation, les distances entre points et l'angle entre segments sont conservés. C'est une transformation qui préserve les propriétés isométriques de la figure.
A retenir :
Les transformations géométriques sont des outils essentiels en mathématiques pour manipuler et analyser les figures dans le plan. Les homothéties permettent d'agrandir ou de réduire une figure tout en conservant sa forme. Les symétries axiale et centrale créent des réflexions et des rotations autour d'un axe ou d'un point. Les translations et rotations déplacent les figures sans altérer leurs dimensions ou formes, assurant ainsi des propriétés invariantes au cours des transformations.