Structure des nombres réelsLes nombres réels (ℝ) forment un ensemble qui inclut divers sous-ensembles. Les entiers (ℤ) comprennent tous les nombres entiers positifs et négatifs, y compris zéro. Les nombres rationnels (ℚ) sont ceux qui peuvent être exprimés comme le quotient de deux entiers, où le dénominateur n'est pas zéro. Les nombres irrationnels, quant à eux, ne peuvent pas être exprimés comme un tel quotient et leur écriture décimale ne se termine jamais et ne se répète pas. Par exemple, √2 et π sont des nombres irrationnels. Tous ces nombres trouvent leur place sur la droite numérique, ce qui les rend fondamentaux pour étudier les propriétés continues des fonctions et des séries.
Définition
Nombre réel
Un nombre réel est tout nombre pouvant être placé sur une droite graduée. Il comprend les entiers, les nombres décimaux, les fractions et les nombres irrationnels, tels que √2 et π. En somme, il englobe presque tous les nombres utilisés en mathématiques.
Valeur absolue
La valeur absolue d’un nombre réel est la distance entre ce nombre et zéro sur la droite graduée. Elle est toujours positive ou nulle, notée |x|, et ne tient compte que de la grandeur du nombre, sans son signe.
Intervalle
Un intervalle est une portion de la droite des réels. Il peut inclure ou exclure ses bornes. Par exemple, [a; b] inclut les bornes a et b, tandis que ]a; b[ les exclut.
Inégalité
Une inégalité exprime une relation d'ordre entre deux nombres réels, indiquant qu'un nombre est soit supérieur, soit inférieur, soit égal ou non à l'autre, et peut être représentée sur la droite graduée ou par un intervalle.
Représentation et calcul des réels