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Lycée
Première

Le cercle trigonométrique

Mathématiques

Définition

Mesure en radian
Mesure basée sur le nombre croissant et sur le cercle trigonométrique

Cercle trigonométrique : angles, cosinus et sinus

A retenir :

On va "enrouler" la droite, on peut associer à chaque nombre x la longueur d'un arc de cercle

Exemples :

  • Cercle entier -> 360° : 2π
  • Demi cercle -> 180° : π
  • Angle droit -> 90° : π/2

Cercle trigonométrique

A retenir :

Pour un angle α, cos (x) est l'abscisse du point correspondant et sin (x) est l'ordonnée :

  • cos (α) = adjacent/hypoténuse = x/1 = x
  • sin (α) = opposé/hypoténuse = y/1 = y

Si cos (α) ≠ alors tan (α) = sin(α)

Valeurs à connaître

Propriétés remarquables

1) Angles associés

A retenir :

Pour tout angle x, cos (x)2 + sin (x)2 = 1

2) Parité et périodicité

Une fonction f est

  • paire -> si pour tout x, f (-x) = f (x)
  • impaire -> si pour tout x, f (x) = - f (x)

Technique des exercices

Exercice 1 : Savoir placer des points sur le cercle trigonométrique

  • Remplacer π par 180
  • Faire le calcul pour trouver l'angle
  • Placer selon l'angle avec un rapporteur

Exercice 2 : Donner pour un angle x un autre angle x qui a la même image par l'enroulement de la tangente

  • Soit connaitre l'angle correspondant
  • Soit prendre l'angle x donné et additionner avec l'équivalent de 2π
  • Exemple : 32π/15 = 32π/15 + 2π = 32π/15 + 30π/15 = 62π/15

Exercice 3 : Donner / Calculer des valeurs de cosinus et sinus à connaître

  • Bien connaitre les valeurs principales
  • Savoir les additionner ou soustraire, etc...

Exercice 4 : Donner / Calculer des valeurs de cosinus et sinus pas connues

  • On connait la valeur d'un cosinus/sinus
  • Il faut exprimer l'angle cherché avec l'angle dont on connait le cosinus
  • A partir de là, il faut utiliser les angles associés
  • Apres avoir fait ça on peut utiliser cos (x)2 + sin (x)2 = 1 pour trouver celui qui manque
  • Exemple : On connait cos (π/5) = (√5+1)/4 et on cherche le cosinus de 4π/5, 4π/5 est aussi égal à 5π/5 - π/5 = π - π/5 et cos (π-x) = -cos(x) donc cos (π - π/5) = - (√5+1)/4

Exercice 5 : Déterminer la valeur d'un cosinus/sinus à partir d'un cosinus/sinus

  • Utiliser cos (x)2 + sin (x)2 = 1
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Le cercle trigonométrique

Mathématiques

Définition

Mesure en radian
Mesure basée sur le nombre croissant et sur le cercle trigonométrique

Cercle trigonométrique : angles, cosinus et sinus

A retenir :

On va "enrouler" la droite, on peut associer à chaque nombre x la longueur d'un arc de cercle

Exemples :

  • Cercle entier -> 360° : 2π
  • Demi cercle -> 180° : π
  • Angle droit -> 90° : π/2

Cercle trigonométrique

A retenir :

Pour un angle α, cos (x) est l'abscisse du point correspondant et sin (x) est l'ordonnée :

  • cos (α) = adjacent/hypoténuse = x/1 = x
  • sin (α) = opposé/hypoténuse = y/1 = y

Si cos (α) ≠ alors tan (α) = sin(α)

Valeurs à connaître

Propriétés remarquables

1) Angles associés

A retenir :

Pour tout angle x, cos (x)2 + sin (x)2 = 1

2) Parité et périodicité

Une fonction f est

  • paire -> si pour tout x, f (-x) = f (x)
  • impaire -> si pour tout x, f (x) = - f (x)

Technique des exercices

Exercice 1 : Savoir placer des points sur le cercle trigonométrique

  • Remplacer π par 180
  • Faire le calcul pour trouver l'angle
  • Placer selon l'angle avec un rapporteur

Exercice 2 : Donner pour un angle x un autre angle x qui a la même image par l'enroulement de la tangente

  • Soit connaitre l'angle correspondant
  • Soit prendre l'angle x donné et additionner avec l'équivalent de 2π
  • Exemple : 32π/15 = 32π/15 + 2π = 32π/15 + 30π/15 = 62π/15

Exercice 3 : Donner / Calculer des valeurs de cosinus et sinus à connaître

  • Bien connaitre les valeurs principales
  • Savoir les additionner ou soustraire, etc...

Exercice 4 : Donner / Calculer des valeurs de cosinus et sinus pas connues

  • On connait la valeur d'un cosinus/sinus
  • Il faut exprimer l'angle cherché avec l'angle dont on connait le cosinus
  • A partir de là, il faut utiliser les angles associés
  • Apres avoir fait ça on peut utiliser cos (x)2 + sin (x)2 = 1 pour trouver celui qui manque
  • Exemple : On connait cos (π/5) = (√5+1)/4 et on cherche le cosinus de 4π/5, 4π/5 est aussi égal à 5π/5 - π/5 = π - π/5 et cos (π-x) = -cos(x) donc cos (π - π/5) = - (√5+1)/4

Exercice 5 : Déterminer la valeur d'un cosinus/sinus à partir d'un cosinus/sinus

  • Utiliser cos (x)2 + sin (x)2 = 1