Dans le domaine des mathématiques, la rotation est une transformation géométrique qui conserve les distances autour d'un point fixe. À deux dimensions, une rotation se caractérise par un centre de rotation et un angle de rotation. L'angle est mesuré dans le sens positif, généralement le sens inverse des aiguilles d'une montre. Par exemple, sur le plan cartésien, une rotation de 90 degrés autour de l'origine transforme le point (x, y) en (-y, x).

En trois dimensions, la rotation devient un peu plus complexe, car elle nécessite la définition d'un axe de rotation, qui est une droite autour de laquelle le tournement s'effectue. Les rotations dans cet espace peuvent être décrites à l'aide de quaternions, de matrices de rotation ou d'angles d'Euler. Chaque méthode offre des avantages selon le contexte : les matrices sont souvent simples à manipuler, tandis que les quaternions évitent les problèmes de gimbal lock associés aux angles d'Euler.

Le calcul d'une rotation dans le plan implique l'utilisation des formules trigonométriques. Pour un point d'origine (x, y) et un angle θ, les nouvelles coordonnées (x', y') après rotation autour de l'origine sont données par : x' = x cos(θ) - y sin(θ) et y' = x sin(θ) + y cos(θ). Ces calculs sont issus de la définition des fonctions trigonométriques dans le cercle unitaire.

Les propriétés des rotations incluent la conservation des distances (isométrie) et des angles, ce qui signifie que toute figure géométrique soumise à une rotation conserve sa forme et sa taille. Une autre propriété clé est que les rotations peuvent être composées : effectuer deux rotations successives est équivalent à effectuer une seule rotation dont l'angle est la somme des deux angles d'origine.

Les rotations trouvent de nombreuses applications pratiques, notamment en physique et en ingénierie. Par exemple, en mécanique classique, la rotation de corps rigides est un phénomène fondamental. En informatique graphique, les rotations sont essentielles pour manipuler et animer des objets en trois dimensions. Dans le cadre des graphiques 2D et 3D, les rotations sont utilisées pour changer l'orientation des objets, modifiant ainsi leur perspective et leur interaction avec la lumière.

Un exemple courant de rotation se trouve dans les satellites artificiels, qui doivent s'orienter précisément pour maintenir leurs instruments dirigés vers la Terre. De même, les gyroscopes, qui exploitent le principe de conservation du moment angulaire, utilisent les rotations pour stabiliser des objets tels que les avions ou les navires.