Les fonctions affines et linéaires sont toutes deux représentées par des droites. Pour une fonction linéaire, la droite passe par l'origine (0,0), tandis que pour une fonction affine, la droite peut couper l'axe des ordonnées en un point différent de zéro. La pente 'a' indique l'inclinaison de la droite : si 'a' est positif, la droite monte, si 'a' est négatif, la droite descend.
Définition
Fonction
Une fonction est une relation qui associe à chaque valeur de départ un élément d'arrivée unique. Dans un graphique, elle est souvent représentée par une courbe ou une droite.
Fonction linéaire
Une fonction linéaire est une fonction de la forme f(x) = ax. Elle est représentée graphiquement par une droite passant par l'origine du repère (point (0,0)). Le coefficient 'a' est la pente de la droite.
Fonction affine
Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = ax + b. Elle est représentée graphiquement par une droite qui ne passe pas forcément par l'origine. 'a' est la pente de la droite et 'b' est l'ordonnée à l'origine (le point où la droite coupe l'axe des ordonnées).
Représentation graphique
Calcul de l'image d'un nombre
L'image d'un nombre x par une fonction est obtenue en remplaçant x dans l'expression de la fonction. Par exemple, pour f(x) = 3x + 2, l'image de 4 est f(4) = 3 × 4 + 2 = 14. Pour une fonction linéaire f(x) = 2x, l'image de 5 est f(5) = 2 × 5 = 10.
Calcul de l'antécédent d'un nombre
L'antécédent d'un nombre y est la valeur x telle que f(x) = y. Pour le calculer, il faut résoudre l'équation : ax + b = y pour les fonctions affines. Par exemple, si f(x) = 4x - 3 et on cherche l'antécédent de 5, on résout 4x - 3 = 5, soit 4x = 8, donc x = 2.
Coefficient directeur et ordonnée à l'origine
Dans l'expression d'une fonction affine f(x) = ax + b, 'a' est le coefficient directeur, qui représente la pente de la droite. 'b' est l'ordonnée à l'origine, le point où la droite coupe l'axe des ordonnées. Ces deux paramètres déterminent entièrement l'apparence de la droite dans le repère.
A retenir :
- Une fonction est une relation associant des valeurs de départ à des valeurs d'arrivée.
- Les fonctions linéaires prennent la forme f(x) = ax et passent par l'origine.
- Les fonctions affines prennent la forme f(x) = ax + b et ne passent pas forcément par l'origine.
- La pente 'a' détermine la montée ou descente de la droite.
- L'ordonnée à l'origine 'b' est le point où la droite traverse l'axe des ordonnées.