Une fonction peut être représentée de différentes manières. L’équation algébrique donne une expression formelle de la fonction. Par exemple, la fonction affine f(x) = 2x + 3 est une expression algébrique donnant le calcul direct pour chaque valeur de x. La représentation graphique illustre la fonction sous forme de courbe sur un repère cartésien. Dans cette représentation, chaque point (x, f(x)) est un point de cette courbe. Un tableau liste directement les valeurs de x et les valeurs correspondantes de f(x). Enfin, le tableau de variation synthétise comment la fonction croît ou décroît sur des intervalles donnés, et peut inclure des valeurs extrêmes et des tendances globales.
Définition
Fonction
Une fonction est une relation qui associe à chaque élément d’un ensemble de départ un et un seul élément d’un ensemble d’arrivée. En termes formels, une fonction f de l’ensemble A vers l’ensemble B est notée f : A → B.
Fonction affine
Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = ax + b où a et b sont des nombres réels. Dans ce cas, a représente le coefficient directeur et b le terme constant, qui est l'ordonnée à l'origine de la droite.
Fonction linéaire
Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine où le terme constant b est égal à 0. Elle est donc de la forme f(x) = ax, représentant une droite passant par l'origine du repère.
Tableau de variation
Le tableau de variation est un outil permettant de résumer les variations d'une fonction. Il indique, sur un intervalle donné, les zones de croissance, de décroissance ou de constance d'une fonction.
Représentation d'une fonction
Fonction affine et linéaire
Les fonctions affines et linéaires ont des caractéristiques distinctes et des formules spécifiques. La fonction affine, f(x) = ax + b, est caractérisée par une droite qui croise l'axe y à l'ordonnée b. Le coefficient directeur a indique l'inclinaison de la droite : une valeur positive de a signifie que la fonction croît, et une valeur négative signifie qu'elle décroît. Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine où b = 0, donc sa droite passe par l'origine du repère.
Détermination de l'équation d'une droite
Pour déterminer l'équation d'une droite à partir d'une représentation graphique, suivez ces étapes : (1) Identifiez deux points distincts sur la droite, notés (x₁, y₁) et (x₂, y₂). (2) Calculez le coefficient directeur a à l'aide de la formule a = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁), qui représente la pente de la droite. (3) Utilisez un des points pour résoudre l'ordonnée à l'origine b en insérant x et y dans l'équation y = ax + b et en résolvant pour b. (4) Écrivez l'équation finale f(x) = ax + b qui représente la droite.
A retenir :
- Les fonctions affines et linéaires sont des types spécifiques de fonctions mathématiques, représentées par des droites sur un graphique.
- La fonction affine se représente de la forme f(x) = ax + b, tandis que la fonction linéaire est de la forme f(x) = ax.
- Il existe diverses représentations d'une fonction : algébrique, graphique, avec un tableau de valeurs, et le tableau de variation pour résumer ses comportements.
- Un tableau de variation montre les intervalles de croissance ou de décroissance de la fonction.
- Pour définir l'équation d'une droite à partir d'un graphique, déterminez d'abord le coefficient directeur puis calculez l'ordonnée à l'origine.