Définition
Fonction polynôme du second degré
Une fonction polynôme du second degré est une fonction de la forme f(x) = ax² + bx + c où a, b, et c sont des nombres réels et a ≠ 0.
Parabole
La parabole est la courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré sur un plan cartésien, elle est caractérisée par un axe de symétrie et un sommet.
Sommet
Le sommet d'une parabole est le point le plus bas si la parabole est ouverte vers le haut, ou le point le plus haut si elle est ouverte vers le bas. Les coordonnées du sommet peuvent être calculées par la formule (-b/2a ; f(-b/2a)).
Axe de symétrie
L'axe de symétrie d'une parabole est une droite verticale qui passe par le sommet, donnée par l'équation x = -b/2a.
Racines
Les racines d'une fonction polynôme du second degré sont les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 0. Elles peuvent être trouvées à l'aide de la formule quadratique ou par factorisation quand c'est possible.
Discriminant
Le discriminant Δ d'une équation du second degré ax² + bx + c = 0 est donné par Δ = b² - 4ac. Il détermine le nombre et le type de racines de l'équation.
Forme générale de la fonction
La fonction polynôme du second degré est exprimée généralement sous la forme f(x) = ax² + bx + c. Ici, 'a', 'b', et 'c' sont des coefficients réels avec 'a' non nul. Cette expression est appelée forme générale de la fonction. Le terme ax² est appelé terme quadratique, bx est le terme linéaire, et c est le terme constant.
Représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré est une parabole. La façon dont la parabole s'ouvre dépend du signe du coefficient 'a'. Si 'a' > 0, la parabole s'ouvre vers le haut, tandis que si 'a' < 0, elle s'ouvre vers le bas. La parabole possède un axe de symétrie vertical qui en passe par le sommet.
Calcul du sommet
Le sommet de la parabole, un point crucial pour la compréhension de sa forme, se trouve en utilisant la formule : x_s = -b/(2a). La valeur de f(x_s) donne l'ordonnée du sommet, formant par conséquent les coordonnées du sommet en (x_s, f(x_s)).
Utilisation du discriminant
Le discriminant Δ est utilisé pour déterminer la nature des racines de la fonction polynôme du second degré. Selon que Δ > 0, Δ = 0, ou Δ < 0, l'équation admet respectivement deux racines réelles distinctes, une racine double, ou aucune racine réelle. Le calcul du discriminant est fait comme suit : Δ = b² - 4ac.
A retenir :
En résumé, la fonction polynôme du second degré, représentée graphiquement par une parabole, dépend des coefficients a, b, c pour sa forme et ses propriétés. Le signe de 'a' indique l'orientation de la parabole, tandis que le sommet et l'axe de symétrie fournissent des informations sur son positionnement. Le discriminant joue un rôle clé dans la détermination de la nature des racines, influençant des solutions possibles des équations quadratiques issues de telles fonctions.