Définition
Fonction carré
Une fonction carré est définie par f(x) = x². Elle prend un nombre réel x et le transforme en son carré.
Fonction cube
Une fonction cube est définie par g(x) = x³. Elle prend un nombre réel x et le transforme en son cube.
Fonction paire
Une fonction f est paire si pour tout x de l'ensemble de définition, f(-x) = f(x).
Fonction impaire
Une fonction f est impaire si pour tout x de l'ensemble de définition, f(-x) = -f(x).
Propriétés des fonctions carrée et cube
Les fonctions carrée et cube présentent des propriétés distinctes et utiles en analyse mathématique, en particulier dans l'étude des fonctions réelles.
La fonction carré, f(x) = x², est définie pour tout nombre réel et produit toujours un résultat non-négatif.
Quant à la fonction cube, g(x) = x³, elle est également définie pour tout nombre réel, et peut produire des valeurs négatives ou positives selon le signe de x.
Fonctions paire, impaire ou ni l'un ni l'autre
Pour la fonction carré f(x) = x², en évaluant f(-x) = (-x)² = x², on constate que f(-x) = f(x). Ainsi, la fonction carré est paire. Pour la fonction cube g(x) = x³, en évaluant g(-x) = (-x)³ = -x³, on voit que g(-x) = -g(x). La fonction cube est donc impaire. Une fonction peut être ni paire ni impaire si elle ne respecte aucune de ces deux conditions.
Croissance des fonctions carré et cube
La fonction carré f(x) = x² est croissante sur l'intervalle [0, +∞) car lorsque x augmente, x² augmente également. Cependant, sur l'intervalle (-∞, 0], la fonction carré est décroissante puisque lorsque x devient de plus en plus négatif, x² diminue. En revanche, la fonction cube g(x) = x³ est croissante sur l'ensemble des nombres réels R. Pour tout x1 < x2, on a x1³ < x2³.
A retenir :
La fonction carré est une fonction paire et croissante sur [0, +∞), décroissante sur (-∞, 0]. La fonction cube est impaire et croît sur l'ensemble des réels. Savoir déterminer si une fonction est paire ou impaire est crucial pour comprendre sa symétrie et son comportement. La croissance ou la décroissance d'une fonction sur certains intervalles est essentielle pour analyser les variations et tracer les graphiques de ces fonctions.