Définition
Limite d'une fonction
La limite d'une fonction f(x) est la valeur que f(x) tend à atteindre lorsque x tend vers une valeur donnée, celle-ci pouvant être un nombre réel fini ou ±∞.
Notion de limite en un point
Lorsque l'on parle de limite d'une fonction en un point a, on cherche à savoir quel est le comportement de f(x) lorsque x se rapproche de a. On dit que la limite de f(x) lorsque x tend vers a est L, ce qui s'écrit lim(x→a) f(x) = L, si f(x) se rapproche arbitrairement de L pour tout x proche de a (sans être égal à a).
Limite à l'infini
Il est possible également de s'intéresser au comportement de f(x) lorsque x tend vers l'infini (ou moins l'infini). On dit que la limite de f(x) lorsque x tend vers l'infini est L, et on note lim(x→∞) f(x) = L, si pour tout ε>0, il existe N tel que pour tout x>N, |f(x) - L| < ε.
Limite finie en l'infini
Une fonction peut avoir une limite finie lorsqu’elle tend vers l’infini. Par exemple, une fonction qui décroît vers zéro. C’est un concept important pour comprendre les comportements asymptotiques des fonctions.
Limite infinie
Lorsque f(x) augmente ou diminue sans bornes aussi bien en un point précis qu'à l'infini, la fonction n'a pas de limite réelle mais tend vers l'infini. On peut écrire lim(x→a) f(x) = ∞ ou lim(x→∞) f(x) = ∞ selon le contexte.
Calcul de limites
Les limites peuvent être calculées à l'aide de diverses techniques telles que la factorisation, le changement de variable, l'usage des formes indéterminées ou les théorèmes de comparaison. Ces méthodes permettent de simplifier les expressions ou de les comparer à des formes connues dont les limites sont plus simples à déterminer.
Formes indéterminées
Les formes indéterminées telles que 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞ ou 0×∞ apparaissent lors du calcul de limites et nécessitent des approches spécifiques pour les évaluer, comme la règle de l'Hôpital ou d'autres techniques de transformations mathématiques.
Théorèmes sur les limites
Plusieurs théorèmes facilitent le calcul des limites, comme le théorème des gendarmes, le théorème du passage à la limite ou les théorèmes spécifiques aux fonctions continues qui permettent d'évaluer directement la limite par substitution.
A retenir :
En terminale, la compréhension des limites de fonctions est essentielle pour analyser les comportements locaux et asymptotiques des fonctions. Les techniques de calcul et les théorèmes de limites offrent des outils puissants pour évaluer ces comportements au-delà des intuitions graphiques. Les notions d'infinie, de forme indéterminée, et l'application des théorèmes sont des compétences cruciales pour poursuivre des études mathématiques plus avancées.