Ce chapitre est constitué de rappels et de compléments de notions vues en spécialité mathématique de première ou de terminale.
A retenir :
- Le symbole "OE" signifie l'infinie.
- "fi" signifie PI
2.1 Ensembles - Intervalles
Cours, les fonctions sont définies dans l'ensemble des nombres réels, noté R, à valeurs dans l'ensemble des nombres réels. Sous-ensemble remarquables de R, considérer essentiellement des intervalles ou des réunions finies d'intervalles.
Définition Ensemble/Intervalle
Remarque 1- Soit a et b deux réels tels que a Æ b.
Les intervalles ouverts sont les intervalles ]a, b[, ]≠OE, b[, ]a,+OE[ et ]≠OE,+OE[.
Les intervalles fermés sont les intervalles [a, b], ]≠OE, b], [a,+OE[ et ]≠OE,+OE[.
L’ensemble vide est un intervalle. En effet Ø = ]5, 5[.
Un singleton est un intervalle. En effet {a} = [a, a].
L’ensemble R est l’intervalle ]≠OE,+OE[. Il est à la fois ouvert et fermé.
Exemples
1. Les ensembles ]fi, 160[ et ]≠OE,≠0.25[ sont des intervalles ouverts.
2. Les ensembles [10 ; 15] et [≠1 ; +OE[ sont des intervalles fermés.
3. L’ensemble E = ]≠4 ; ≠2[fi]2 ; 9[ n’est pas un intervalle ; en effet, ≠2,5 oe E
et 2,5 oe E et 0 /oe E.
4. L’ensemble ]4 ; 8] est un intervalle. Il est « ouvert en 4 et fermé en 8 ». Il
n’est ni ouvert, ni fermé.
2.2 Fonction et application
Définition
Fonction
Soit A et B deux sous-ensembles de R. Une fonction f de A dans B est un
processus (ou correspondance) qui, à tout élément de A associe au plus un
élément de B.
— Soit A et B deux sous-ensembles de R. Une application f de A dans B est
un processus qui, à tout élément de A associe exactement un élément de B.
— On note f : A ≠æ B, x ‘æ f(x). On peut dire « f est une fonction
numérique de variable réelle ».
— On dit que x est un antécédent de f(x) et que f(x) est l’image de x.
2.3 Opérations sur les fonctions
2.4 Parité, périodicité
2.5 Propriétés des fonctions liées à l’ordre
2.6 Limite et continuité
2.7 Dérivabilité en un point
2.8 Applications