Définition
Suite
Une suite est une liste ordonnée de nombres réels souvent définie par une relation de récurrence ou par une formule explicite du terme général.
Suite arithmétique
Une suite arithmétique est une suite de nombres réels dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette différence est appelée raison de la suite.
Suite géométrique
Une suite géométrique est une suite de nombres réels dans laquelle le quotient de deux termes consécutifs est constant. Ce quotient est appelé raison de la suite.
Les suites arithmétiques
Une suite arithmétique peut être définie de manière récurrente par un terme initial u₀ et une raison r telle que, pour tout entier naturel n, le terme suivant uₙ₊₁ = uₙ + r. Sous forme explicite, le terme général de la suite est donné par uₙ = u₀ + n × r.
Propriétés des suites arithmétiques
Une propriété importante des suites arithmétiques est que la somme de deux termes équidistants des extrémités est constante. Par exemple, pour les termes u₀, u₁, ..., uₙ, la somme u₀ + uₙ = u₁ + uₙ₋₁.
La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique peut être calculée par la formule Sₙ = n/2 × (u₀ + uₙ₋₁).
Les suites géométriques
Une suite géométrique est définie par un terme initial u₀ et une raison q. Pour tout entier naturel n, le terme suivant est uₙ₊₁ = uₙ × q. La formule explicite du terme général est uₙ = u₀ × qⁿ.
Propriétés des suites géométriques
Une propriété clé des suites géométriques est que le rapport entre deux termes équidistants des extrémités est constant, c'est-à-dire uₙ/u₀ = qⁿ.
La somme des n premiers termes d'une suite géométrique, avec q ≠ 1, est donnée par la formule Sₙ = u₀ × (1 - qⁿ)/(1 - q).
Comparaison des suites arithmétiques et géométriques
Les suites arithmétiques et géométriques se distinguent principalement par la nature de leur croissance. Les suites arithmétiques augmentent ou diminuent de façon linéaire, alors que les suites géométriques le font de manière exponentielle.
A retenir :
Pour résumer, une suite est une succession de nombres, et elle peut être arithmétique ou géométrique. Les suites arithmétiques évoluent selon une différence constante (raison) tandis que les suites géométriques le font selon un facteur constant (raison). Les formules fournies permettent de calculer les termes n-ièmes et les sommes des termes de ces suites.