Une suite géométrique est une suite de nombres réels où chaque terme, à partir du second, est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante appelée la raison. Cette fiche de révision se concentre sur l'apprentissage et l'application de la formule de la somme des n premiers termes d'une suite géométrique.
Suite Géométrique
Une suite numérique où chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par une constante (la raison).
Raison (q)
Le nombre constant par lequel on multiplie un terme pour obtenir le suivant dans une suite géométrique.
Terme Général (t_n)
L'expression qui permet de calculer n'importe quel terme t_n d'une suite en fonction de son rang n et des caractéristiques de la suite.
Somme des n Premiers Termes (S_n)
Le résultat de l'addition des n premiers termes d'une suite.
Définition et Terme Général
Une suite géométrique est entièrement définie par son premier terme t_1 et sa raison q. Chaque terme t_n est obtenu en multipliant le terme précédent tn-1 par q. Le terme général t_n, qui permet de calculer n'importe quel terme directement, s'exprime par la formule suivante :
Formule du terme général d'une suite géométrique.
Formule de la Somme des n Premiers Termes
La somme S_n des n premiers termes d'une suite géométrique (de t_1 à t_n) est donnée par une formule spécifique. Cette formule est valide lorsque la raison q est différente de 1. Elle est essentielle pour calculer rapidement la somme d'un grand nombre de termes sans les additionner un par un :
Formule de la somme des n premiers termes d'une suite géométrique (pour q ≠ 1).
Dans cette formule :
- t_1 est le premier terme de la somme.
- q est la raison de la suite géométrique.
- n est le nombre de termes que l'on souhaite additionner.
Application et Exemple
Pour appliquer la formule de la somme, il est crucial d'identifier correctement les trois paramètres : le premier terme t_1, la raison q et le nombre de termes n. Une erreur sur l'un de ces éléments entraînera un résultat incorrect.
Exemple :
Considérons une suite géométrique de premier terme t_1 = 5 et de raison q = 2. Calculons la somme des 4 premiers termes (S_4).
1. Identifier les paramètres : t_1 = 5, q = 2, n = 4.
2. Appliquer la formule :
S_4 = 5 * (1 - 2^4) / (1 - 2)
S_4 = 5 * (1 - 16) / (-1)
S_4 = 5 * (-15) / (-1)
S_4 = 5 * 15
S_4 = 75
Pour vérifier, les termes sont : t_1 = 5, t_2 = 10, t_3 = 20, t_4 = 40. La somme est bien 5 + 10 + 20 + 40 = 75.
Exemple :
Considérons une suite géométrique de premier terme t_1 = 5 et de raison q = 2. Calculons la somme des 4 premiers termes (S_4).
1. Identifier les paramètres : t_1 = 5, q = 2, n = 4.
2. Appliquer la formule :
S_4 = 5 * (1 - 2^4) / (1 - 2)
S_4 = 5 * (1 - 16) / (-1)
S_4 = 5 * (-15) / (-1)
S_4 = 5 * 15
S_4 = 75
Pour vérifier, les termes sont : t_1 = 5, t_2 = 10, t_3 = 20, t_4 = 40. La somme est bien 5 + 10 + 20 + 40 = 75.
A retenir :
- Une suite géométrique est caractérisée par un premier terme t_1 et une raison q.
- Le terme général d'une suite géométrique est t_n = t_1 * q^(n-1).
- La somme S_n des n premiers termes d'une suite géométrique (pour q ≠ 1) est S_n = t_1 * (1 - q^n) / (1 - q).
- Si la raison q = 1, la somme S_n est n * t_1.
- Pour utiliser la formule de la somme, il est essentiel d'identifier correctement le premier terme t_1, la raison q et le nombre de termes n.