Une suite géométrique est une suite de nombres réels où chaque terme, à partir du second, est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre constant. Cette fiche explore sa définition, l'identification de sa raison et le calcul d'un terme quelconque.
Suite numérique
Une liste ordonnée de nombres réels.
Terme d'une suite
Chaque nombre réel constituant la suite.
Suite géométrique
Une suite de nombres où chaque terme, à partir du second, est égal au précédent multiplié par un nombre constant.
Raison (q)
Le nombre constant par lequel on multiplie un terme pour obtenir le suivant dans une suite géométrique.
Formule du n-ième terme
Expression permettant de calculer directement n'importe quel terme de la suite (t_n) en fonction de son rang (n), du premier terme (t_1) et de la raison (q).
Définition d'une suite géométrique 
Une suite géométrique (SG) est caractérisée par le fait que le rapport entre deux termes consécutifs est constant. Ce rapport constant est appelé la raison de la suite. Si
t_n est un terme de la suite, alors t_(n+1) = t_n × q, où q est la raison.Exemples :
3, 6, 12, 24, ...: C'est une SG croissante de raisonq = 2(chaque terme est multiplié par 2).-2, -6, -18, -54, ...: C'est une SG décroissante de raisonq = 3(attention au signe des termes).3, -6, 12, -24, ...: C'est une SG alternée de raisonq = -2(les signes alternent).3, 3, 3, 3, ...: C'est une SG constante de raisonq = 1.
La raison d'une suite géométrique (q) 
La raison, notée
q, est le facteur multiplicatif constant d'une suite géométrique. Elle se calcule en divisant un terme par le terme qui le précède. Pour tout n ≥ 1, q = t_(n+1) / t_n. La raison est essentielle pour déterminer l'évolution de la suite :- Si
q > 1, la suite est croissante (sit_1 > 0). - Si
0 < q < 1, la suite est décroissante (sit_1 > 0). - Si
q = 1, la suite est constante. - Si
q < 0, la suite est alternée (les signes des termes changent).
Calcul du n-ième terme d'une suite géométrique 
Pour calculer un terme quelconque
t_n d'une suite géométrique sans avoir à calculer tous les termes précédents, on utilise une formule explicite. Si t_1 est le premier terme et q la raison, alors le n-ième terme est donné par :Formule du n-ième terme d'une suite géométrique
Exemple : Soit une suite géométrique de premier terme
Cette formule permet de calculer directement n'importe quel terme, quelle que soit sa position dans la suite.
t_1 = 10 et de raison q = 3. Pour trouver le 5ème terme (t_5) :t_5 = t_1 × q^(5-1) = 10 × 3^4 = 10 × 81 = 810.Cette formule permet de calculer directement n'importe quel terme, quelle que soit sa position dans la suite.
A retenir :
- Une suite géométrique est définie par un premier terme
t_1et une raisonq, un nombre constant par lequel on multiplie chaque terme pour obtenir le suivant. - La raison
qest calculée par le rapportt_(n+1) / t_n. Elle détermine la croissance, décroissance ou alternance de la suite. - Le n-ième terme d'une suite géométrique se calcule à l'aide de la formule explicite :
t_n = t_1 × q^(n-1). - Cette formule est cruciale pour déterminer rapidement n'importe quel terme de la suite sans énumérer les précédents.