Une suite arithmétique est une séquence de nombres où la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette fiche vous aidera à maîtriser son identification, le calcul de sa raison et l'utilisation de la formule pour déterminer n'importe quel terme.
Suite numérique
Une liste ordonnée de nombres réels.
Terme
Chaque nombre réel constituant une suite.
Raison (r)
La valeur constante ajoutée à un terme pour obtenir le suivant dans une suite arithmétique.
Formule explicite
Expression permettant de calculer directement n'importe quel terme d'une suite en fonction de son rang (n).
Formule par récurrence
Expression définissant un terme d'une suite à partir du ou des termes qui le précèdent.
1. Comprendre la Suite Arithmétique 
Une suite arithmétique (SA) est caractérisée par le fait que chaque terme, à partir du second, est obtenu en ajoutant une valeur fixe au terme précédent. Cette valeur constante est appelée la raison de la suite, notée 'r'. Pour identifier une suite arithmétique, il suffit de vérifier si la différence entre des termes consécutifs est toujours la même.
La raison 'r' peut être positive (suite croissante), négative (suite décroissante) ou nulle (suite constante).
Exemples :
- 5, 7, 9, 11, ... (r = 2) : Suite arithmétique croissante.
- 14, 11, 8, 5, ... (r = -3) : Suite arithmétique décroissante.
- 4, 4, 4, 4, ... (r = 0) : Suite arithmétique constante.
2. Calcul du n-ième Terme 
Pour calculer un terme quelconque d'une suite arithmétique sans avoir à lister tous les termes précédents, on utilise la formule explicite du n-ième terme. Si t₁ est le premier terme de la suite et 'r' sa raison, alors le n-ième terme (t_n) est donné par :
Formule explicite du n-ième terme
Cette formule est fondamentale : 'n' représente le rang du terme que l'on cherche (par exemple, n=1 pour le premier terme, n=2 pour le deuxième, etc.).
Exemple : Soit une suite arithmétique de premier terme t₁ = 4 et de raison r = 7. Pour trouver le 12ème terme (t₁₂), on applique la formule : t₁₂ = t₁ + (12 - 1)r = 4 + 11 × 7 = 4 + 77 = 81.
3. Représentation Graphique 
Les termes d'une suite arithmétique, lorsqu'ils sont représentés dans un repère où l'axe des abscisses correspond au rang 'n' et l'axe des ordonnées à la valeur du terme t_n, forment des points alignés. Cela illustre la nature linéaire de la progression d'une suite arithmétique.
f(x) = 2*x - 1
Représentation graphique d'une suite arithmétique (t_n = 2n - 1)
A retenir :
Synthèse des points clés :
- Une suite arithmétique est une suite de nombres où la différence entre deux termes consécutifs est constante.
- Cette différence constante est appelée la raison (r).
- La raison 'r' détermine si la suite est croissante (r > 0), décroissante (r < 0) ou constante (r = 0).
- La formule explicite du n-ième terme est : t_n = t_1 + (n - 1)r, où t_1 est le premier terme et 'n' le rang du terme.
- Les termes d'une suite arithmétique, quand ils sont tracés, forment des points alignés, révélant une progression linéaire.