Les opérateurs de la théorie des champs
Définition
Circulation
Intégrale simple de E.dl le long d'un contour
Flux
Intégrale double de E.dS à travers une surface. On a dS=n.dS
Nabla
d/dx ; d/dy ; d/dz (ne fonction qu'en cartésien)
gradient
Le gradient est un vecteur (contrairement à la divergence) qui prend en argument un scalaire f (contrairement à la divergence). Il ne s'agit pas vraiment d'une opération; c'est juste l'opérateur nabla qui est appliqué à une fonction.
divergence
L'opération donne un scalaire. C'est le produit scalaire entre nabla et le champ dont on calcule la divergence.
Rotationnel
nabla vectoriel le champ dont on cherche le rotationnel. Cela donne donc un vecteur avec 3 composantes
Laplacien
comme la divergence mais dérivée seconde au lieu des dérivées simples (donc nabla au carré).
rotationnel
divergence
A retenir :
Théorème Stokes: La circulation le long d'un contour fermé peut être calculée avec l'intégrale double du produit scalaire entre rot(E) et dS.
Théorème de Green-Ostrogradsky: Le flux à travers une surface fermée peut être calculé avec l'intégrale triple du produit scalaire entre div(E) et dV.
Propiétés:
Si div(E)=0 alors le champ est à flux conservatif.
Si rot(E)=0 alors le champ est à circulation conservative.