Fonction numérique
Une fonction numérique associe à chaque nombre d'un ensemble de départ (appelé ensemble de définition) un unique nombre d'un ensemble d'arrivée. On la note souvent $f: x \mapsto f(x)$ ou $y = f(x)$.
Image et antécédent
Si $y = f(x)$, alors $y$ est l'image de $x$ par la fonction $f$, et $x$ est un antécédent de $y$ par la fonction $f$. Un nombre $x$ ne peut avoir qu'une seule image, mais un nombre $y$ peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun.
Représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction $f$ est l'ensemble de tous les points du plan dont les coordonnées $(x, y)$ vérifient l'égalité $y = f(x)$. On l'appelle aussi courbe représentative.
Points clés d'une représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction est un outil visuel essentiel pour comprendre son comportement. Elle se construit dans un repère (généralement orthogonal) où l'axe des abscisses (axe horizontal) représente les valeurs de $x$ (les antécédents) et l'axe des ordonnées (axe vertical) représente les valeurs de $y$ ou $f(x)$ (les images). Chaque point de la courbe a pour coordonnées $(x, f(x))$.
Pour construire la courbe d'une fonction, on peut choisir plusieurs valeurs de $x$, calculer leurs images $f(x)$, puis placer les points $(x, f(x))$ dans le repère. En reliant ces points de manière fluide, on obtient une approximation de la courbe. Plus on choisit de points, plus la représentation est précise. Cependant, pour des fonctions simples (affines, carrée, inverse), connaître l'allure générale et quelques points suffit souvent.
Lire des informations sur un graphique
- Trouver l'image d'un nombre : Pour trouver l'image de $x=a$, on place $a$ sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) verticalement jusqu'à rencontrer la courbe, puis on se déplace horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées. La valeur lue est $f(a)$.
- Trouver les antécédents d'un nombre : Pour trouver les antécédents de $y=b$, on place $b$ sur l'axe des ordonnées, on se déplace horizontalement jusqu'à rencontrer la courbe. Pour chaque point d'intersection, on redescend (ou monte) verticalement jusqu'à l'axe des abscisses. Les valeurs lues sont les antécédents de $b$. Une valeur $y$ peut avoir zéro, un, ou plusieurs antécédents.
- Identifier l'ensemble de définition : C'est l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe existe. On le lit sur l'axe des abscisses, en projetant la courbe sur cet axe.
- Identifier l'ensemble des images : C'est l'ensemble des valeurs de $y$ atteintes par la fonction. On le lit sur l'axe des ordonnées, en projetant la courbe sur cet axe.
f(x) = x^2g(x) = sqrt(x)
Exemples de fonctions carrée et racine carrée
Propriétés des fonctions sur leur graphique
La représentation graphique permet aussi de visualiser des propriétés importantes de la fonction :
- Variations de la fonction : Une fonction est croissante sur un intervalle si sa courbe « monte » de gauche à droite sur cet intervalle. Elle est décroissante si sa courbe « descend ». Elle est constante si sa courbe est une droite horizontale.
- Extremums : Les points où la courbe passe d'une phase de croissance à une phase de décroissance (ou inversement) sont appelés extremums. Il s'agit des maximums locaux (ou globaux) et des minimums locaux (ou globaux).
- Signe de la fonction : La fonction est positive (c'est-à-dire $f(x) \ge 0$) lorsque sa courbe est au-dessus ou sur l'axe des abscisses. Elle est négative (c'est-à-dire $f(x) \le 0$) lorsque sa courbe est en dessous ou sur l'axe des abscisses. Les points où la courbe coupe l'axe des abscisses sont les racines de la fonction (où $f(x)=0$).
- Parité : Une fonction est paire si sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (ex: $f(x) = x^2$). Une fonction est impaire si sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère (ex: $f(x) = x^3$).
A retenir :
Résumé des notions clés :
- La représentation graphique d'une fonction $f$ est l'ensemble des points $(x, f(x))$.
- L'axe des abscisses (horizontal) représente $x$, l'axe des ordonnées (vertical) représente $f(x)$.
- On lit l'image de $x$ en projetant sur l'axe des ordonnées ; les antécédents de $y$ en projetant sur l'axe des abscisses.
- L'ensemble de définition et l'ensemble des images sont lus sur les axes correspondants.
- Les variations (croissante/décroissante), les extremums (maximum/minimum) et le signe ($f(x) \ge 0$ ou $f(x) \le 0$) sont directement visibles sur la courbe.
- Les points d'intersection avec l'axe des abscisses sont les racines de la fonction ($f(x)=0$).