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Rendre rationnel un denominateur

Rendre rationnel un dénominateur
C'est une technique mathématique qui consiste à éliminer les racines carrées (ou plus généralement les nombres irrationnels) du dénominateur d'une fraction afin de faciliter les calculs ou de présenter un résultat sous une forme standardisée. L'objectif est d'obtenir un dénominateur qui soit un nombre entier (rationnel).
Nombre rationnel
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux nombres entiers, dont le dénominateur n'est pas nul. Exemples : 3/4, -2, 0,5 (qui est 1/2).
Nombre irrationnel
Un nombre irrationnel est un nombre réel qui ne peut pas s'exprimer comme une fraction de deux nombres entiers. Il possède une écriture décimale infinie et non périodique. Exemples : \(\sqrt{2}\), \(\pi\).

📝 Pourquoi rendre un dénominateur rationnel ?

Rendre un dénominateur rationnel est une compétence fondamentale en algèbre. Bien que les calculatrices modernes puissent gérer les racines carrées sans problème, cette technique est cruciale pour plusieurs raisons :

  • Simplification des expressions : Cela permet d'obtenir une forme plus élégante et souvent plus simple à manipuler, en particulier lorsque l'on doit additionner, soustraire ou comparer des fractions.
  • Standardisation : C'est la forme conventionnelle pour présenter une réponse en mathématiques, notamment pour les exercices et examens.
  • Faciliter les calculs manuels : Il est plus facile de calculer la valeur approximative d'une expression comme \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) que de \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) (il est plus simple de diviser par 2 que par 1,414...).

🔧 Les différentes méthodes pour rendre un dénominateur rationnel

La méthode utilisée dépend de la forme du dénominateur. On se base toujours sur le principe de multiplier le numérateur ET le dénominateur par la même expression pour ne pas changer la valeur de la fraction, mais en modifiant son écriture.

CAS 1 : Dénominateur de la forme \sqrt{a}

Si le dénominateur est une simple racine carrée, par exemple \(\frac{x}{\sqrt{a}}\) (où \(a > 0\)), il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{a}\) lui-même.

xa=x×aa×a=xaa\frac{x}{\sqrt{a}} = \frac{x \times \sqrt{a}}{\sqrt{a} \times \sqrt{a}} = \frac{x\sqrt{a}}{a}

Formule générale pour un dénominateur simple

Exemple :

Rendons rationnel le dénominateur de \(\frac{3}{\sqrt{5}}\) :

35=3×55×5=355\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}

Le dénominateur \(5\) est bien un nombre rationnel.

CAS 2 : Dénominateur de la forme \a\sqrt{b}

Si le dénominateur est un multiple d'une racine carrée, par exemple \frac{x}{a\sqrt{b}} (où \(a \neq 0\) et \(b > 0\)), il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{b}\). Le facteur \(a\) n'a pas besoin d'être rationalisé car il est déjà rationnel.

xab=x×bab×b=xba×b\frac{x}{a\sqrt{b}} = \frac{x \times \sqrt{b}}{a\sqrt{b} \times \sqrt{b}} = \frac{x\sqrt{b}}{a \times b}

Formule générale pour un dénominateur avec un facteur

Exemple :

Rendons rationnel le dénominateur de \(\frac{7}{2\sqrt{3}}\) :

723=7×323×3=732×3=736\frac{7}{2\sqrt{3}} = \frac{7 \times \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{2 \times 3} = \frac{7\sqrt{3}}{6}

CAS 3 : Dénominateur de la forme \(a + \sqrt{b}\) ou \(a - \sqrt{b}\) (avec \(a\) rationnel et \(b > 0\))

C'est le cas le plus courant et le plus important après le cas simple. Ici, on utilise la notion de quantité conjuguée. La quantité conjuguée de \(a + \sqrt{b}\) est \(a - \sqrt{b}\), et réciproquement. Le produit d'une expression par sa quantité conjuguée est une identité remarquable du type \((x-y)(x+y) = x^2 - y^2\).

(a+b)(a−b)=a2−(b)2=a2−b(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - (\sqrt{b})^2 = a^2 - b

Utilisation de l'identité remarquable

Puisque \(a\) est rationnel et \(b\) est un entier, \(a^2 - b\) sera un nombre rationnel, éliminant ainsi la racine carrée du dénominateur.

Exemple 1 :

Rendons rationnel le dénominateur de \(\frac{2}{3 + \sqrt{2}}\) :

La quantité conjuguée de \(3 + \sqrt{2}\) est \(3 - \sqrt{2}\).

23+2=2×(3−2)(3+2)×(3−2)=2(3−2)32−(2)2=6−229−2=6−227\frac{2}{3 + \sqrt{2}} = \frac{2 \times (3 - \sqrt{2})}{(3 + \sqrt{2}) \times (3 - \sqrt{2})} = \frac{2(3 - \sqrt{2})}{3^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{6 - 2\sqrt{2}}{9 - 2} = \frac{6 - 2\sqrt{2}}{7}

Exemple 2 :

Rendons rationnel le dénominateur de \(\frac{1}{\sqrt{7} - 2}\) :

La quantité conjuguée de \(\sqrt{7} - 2\) est \(\sqrt{7} + 2\).

17−2=1×(7+2)(7−2)×(7+2)=7+2(7)2−22=7+27−4=7+23\frac{1}{\sqrt{7} - 2} = \frac{1 \times (\sqrt{7} + 2)}{(\sqrt{7} - 2) \times (\sqrt{7} + 2)} = \frac{\sqrt{7} + 2}{(\sqrt{7})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{7} + 2}{7 - 4} = \frac{\sqrt{7} + 2}{3}

CAS 4 : Dénominateur de la forme \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) ou \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\) (avec \(a, b > 0\))

C'est une variante du cas précédent. On utilise également la quantité conjuguée. La quantité conjuguée de \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) est \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\).

(a+b)(a−b)=(a)2−(b)2=a−b(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b

Application de la quantité conjuguée pour deux racines

Exemple :

Rendons rationnel le dénominateur de \(\frac{5}{\sqrt{6} - \sqrt{3}}\) :

La quantité conjuguée de \(\sqrt{6} - \sqrt{3}\) est \(\sqrt{6} + \sqrt{3}\).

56−3=5×(6+3)(6−3)×(6+3)=5(6+3)(6)2−(3)2=5(6+3)6−3=5(6+3)3\frac{5}{\sqrt{6} - \sqrt{3}} = \frac{5 \times (\sqrt{6} + \sqrt{3})}{(\sqrt{6} - \sqrt{3}) \times (\sqrt{6} + \sqrt{3})} = \frac{5(\sqrt{6} + \sqrt{3})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{5(\sqrt{6} + \sqrt{3})}{6 - 3} = \frac{5(\sqrt{6} + \sqrt{3})}{3}

A retenir :

🧠 Résumé des notions clés

  • Objectif : Éliminer les racines carrées du dénominateur d'une fraction pour le rendre rationnel (un nombre entier).
  • Principe général : Multiplier le numérateur et le dénominateur par la même expression pour ne pas changer la valeur de la fraction.
  • Cas 1 (\(\frac{x}{\sqrt{a}}\)) : Multiplier par \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}\\) pour obtenir \(\frac{x\sqrt{a}}{a}\).
  • Cas 2 (\(\frac{x}{a\sqrt{b}}\)) : Multiplier par \(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}\\) pour obtenir \(\frac{x\sqrt{b}}{ab}\).
  • Cas 3 (\(\frac{x}{a \pm \sqrt{b}}\) ou \(\frac{x}{\sqrt{a} \pm b}\)) : Utiliser la quantité conjuguée. Si le dénominateur est \(A + B\), multiplier par \(A - B\). Si le dénominateur est \(A - B\), multiplier par \(A + B\).
  • Cas 4 (\(\frac{x}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}\)) : C'est aussi un cas de quantité conjuguée. Si le dénominateur est \(\sqrt{A} + \sqrt{B}\), multiplier par \(\sqrt{A} - \sqrt{B}\).
  • Identité remarquable clé : \((x-y)(x+y) = x^2 - y^2\) est au cœur de la rationalisation avec les quantités conjuguées.
  • Importance : Simplifie les calculs, standardise les résultats et est essentiel pour l'algèbre.
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