Définition
Expérience aléatoire
Une expérience aléatoire est une expérience qui peut être répétée dans les mêmes conditions et dont le résultat est incertain.
Issue
Une issue est un résultat possible d'une expérience aléatoire.
Événement
Un événement est un ensemble d'issues, c'est-à-dire un sous-ensemble de l'ensemble des résultats possibles.
Probabilité
La probabilité d'un événement est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la chance que cet événement se produise.
Événement certain et événement impossible
Événement certain : L'événement qui contient toutes les issues d'une expérience. Événement impossible : L'événement qui ne contient aucune issue.
Univers et évènements
L'univers est l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire, souvent noté Ω. Par exemple, si on lance un dé à six faces, l'univers est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Un événement est un sous-ensemble de cet univers. Si l'on considère l'événement 'obtenir un nombre pair', alors cet événement est représenté par {2, 4, 6}.
Calculs de probabilité
Probabilité théorique
Lorsque toutes les issues de l'univers sont équiprobables (c'est-à-dire ont la même probabilité de se produire), la probabilité d'un événement A est le quotient du nombre d'issues favorables par le nombre total d'issues. La formule est: P(A) = (nombre d'issues favorables à A) / (nombre total d'issues).
Probabilité empirique
La probabilité empirique est une estimation de la probabilité obtenue à partir de l'observation des résultats d'une série d'expériences. Si une expérience est répétée un grand nombre de fois, et que l'événement A se produit nA fois, la probabilité empirique de A est estimée par la fréquence relative : P(A) ≈ nA / N où N est le nombre total de répétitions.
Propriétés des probabilités
Les probabilités obéissent à certaines règles. Par exemple, la probabilité de l'événement certain est 1, et la probabilité de l'événement impossible est 0. Pour deux événements A et B, la probabilité de leur réunion (A ou B) est donnée par : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). Cette règle est connue comme la règle de l'addition des probabilités.
Indépendance et incompatibilité
Événements indépendants
Deux événements A et B sont indépendants si la probabilité que A et B se produisent simultanément est égale au produit de leur probabilité : P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Cette situation arrive par exemple lorsque l'événement A n'a aucune influence sur l'événement B.
Événements incompatibles
Deux événements A et B sont dits incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire en même temps, c'est-à-dire, s'ils n'ont aucune issue en commun. Cela implique que P(A ∩ B) = 0.
A retenir :
Les probabilités sont un moyen de quantifier l'incertitude associée aux expériences aléatoires. Les concepts de base incluent les expériences aléatoires, les issues, les événements, et les probabilités associées. Les probabilités sont calculées soit de manière théorique lorsque les issues sont équiprobables, soit de manière empirique lorsqu'on se base sur l'observation. Les règles importantes incluent la somme des probabilités de deux événements, et la distinction entre événements indépendants et événements incompatibles. Comprendre ces concepts et règles est fondamental pour maîtriser le calcul des probabilités.