Opérations et transformations de fonctions

Fonction

Une fonction est un procédé qui, à chaque nombre d'un ensemble de départ (appelé ensemble de définition), associe un unique nombre d'un ensemble d'arrivée. On la note souvent $f: x \mapsto f(x)$.

Ensemble de définition

L'ensemble de définition d'une fonction est l'ensemble de tous les nombres réels pour lesquels le calcul de $f(x)$ est possible et donne un nombre réel. Il est souvent noté $D_f$.

Sens de variation

Le sens de variation d'une fonction décrit si elle est croissante (les valeurs de $f(x)$ augmentent lorsque $x$ augmente), décroissante (les valeurs de $f(x)$ diminuent lorsque $x$ augmente) ou constante sur un intervalle donné.

Opérations sur les fonctions

Lorsque l'on travaille avec des fonctions, il est courant de les combiner à l'aide des opérations arithmétiques de base : addition, soustraction, multiplication et division. Ces opérations créent de nouvelles fonctions dont les propriétés (ensemble de définition, sens de variation) dépendent des fonctions d'origine.

Addition et Soustraction de fonctions

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions définies sur un ensemble $D$, alors la fonction somme $f+g$ est définie pour tout $x \in D$ par $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$. De même, la fonction différence $f-g$ est définie par $(f-g)(x) = f(x) - g(x)$.
L'ensemble de définition de $f+g$ et $f-g$ est l'intersection des ensembles de définition de $f$ et $g$, c'est-à-dire $D_{f+g} = D_{f-g} = D_f \cap D_g$.
Concernant le sens de variation, il n'y a pas de règle générale simple. Par exemple, la somme de deux fonctions croissantes est croissante, mais la somme d'une fonction croissante et d'une décroissante peut être croissante, décroissante ou même non monotone.

Multiplication de fonctions

La fonction produit $f \times g$ est définie pour tout $x \in D_f \cap D_g$ par $(f \times g)(x) = f(x) \times g(x)$. L'ensemble de définition est également l'intersection $D_{f \times g} = D_f \cap D_g$.
Pour le produit par un réel $k$, la fonction $k \times f$ est définie par $(k \times f)(x) = k \times f(x)$. Si $k>0$, $k \times f$ a le même sens de variation que $f$. Si $k<0$, $k \times f$ a le sens de variation opposé à $f$. Pour le produit de deux fonctions, le sens de variation est plus complexe et dépend des signes et variations de $f$ et $g$.

Division de fonctions

La fonction quotient $\frac{f}{g}$ est définie pour tout $x \in D_f \cap D_g$ tel que $g(x) \neq 0$. L'ensemble de définition $D_{\frac{f}{g}}$ est donc $D_f \cap D_g \setminus \{x | g(x)=0\}$.
Le sens de variation d'un quotient est généralement complexe à déterminer et nécessite l'étude du signe de la dérivée, notion vue plus tard.

Transformations de fonctions (composées)

Les transformations de fonctions permettent de créer de nouvelles fonctions en appliquant une série d'opérations sur la variable $x$ ou sur la valeur $f(x)$. Les plus courantes sont la translation, la symétrie et la mise à l'échelle (dilatation/compression).

Translations

Une translation permet de déplacer la courbe d'une fonction dans le plan.

Translation verticale : Pour une fonction $f$, la fonction $h(x) = f(x) + k$ (avec $k \in \mathbb{R}$) correspond à une translation verticale de la courbe de $f$ de $k$ unités. Si $k>0$, la translation est vers le haut ; si $k<0$, elle est vers le bas. Cela ne modifie pas le sens de variation.
Translation horizontale : Pour une fonction $f$, la fonction $h(x) = f(x-a)$ (avec $a \in \mathbb{R}$) correspond à une translation horizontale de la courbe de $f$ de $a$ unités. Si $a>0$, la translation est vers la droite ; si $a<0$, elle est vers la gauche. Cela ne modifie pas le sens de variation.

f(x) = x^2g(x) = (x-2)^2 + 1

Exemple de translation de $f(x)=x^2$ vers $g(x)=(x-2)^2+1$

Symétries

Symétrie par rapport à l'axe des abscisses (Ox) : La fonction $h(x) = -f(x)$ a une courbe symétrique à celle de $f$ par rapport à l'axe des abscisses. Le sens de variation est inversé par rapport à $f$.
Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées (Oy) : La fonction $h(x) = f(-x)$ a une courbe symétrique à celle de $f$ par rapport à l'axe des ordonnées. Le sens de variation est inversé par rapport à $f$.
Symétrie centrale par rapport à l'origine : La fonction $h(x) = -f(-x)$ correspond à une symétrie centrale de la courbe de $f$ par rapport à l'origine. Le sens de variation est le même que $f$.

Composition de fonctions

La composition de fonctions est une opération plus avancée. Si $f$ et $g$ sont deux fonctions, la fonction composée $g \circ f$ (lire « $g$ rond $f$ ») est la fonction qui, à $x$, associe $g(f(x))$.

Pour que $g(f(x))$ soit définie, il faut que $x$ appartienne à l'ensemble de définition de $f$, et que $f(x)$ appartienne à l'ensemble de définition de $g$.

(g \circ f)(x) = g(f(x))

Un exemple simple : si $f(x) = 2x+1$ et $g(x) = x^2$, alors $(g \circ f)(x) = g(2x+1) = (2x+1)^2$.
Le sens de variation d'une composée est plus délicat. Il dépend des sens de variation de $f$ et $g$ :

Si $f$ et $g$ ont le même sens de variation (toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes), alors $g \circ f$ est croissante.
Si $f$ et $g$ ont des sens de variation opposés (l'une croissante et l'autre décroissante), alors $g \circ f$ est décroissante.

A retenir :

Résumé des notions clés

Les opérations ($+$, $-$, $\times$, $/$) sur les fonctions permettent de construire de nouvelles fonctions.
L'ensemble de définition d'une somme, différence ou produit est l'intersection des ensembles de définition des fonctions d'origine. Pour un quotient, il faut en plus exclure les valeurs qui annulent le dénominateur.
Les translations (verticale $f(x)+k$, horizontale $f(x-a)$) déplacent la courbe sans changer le sens de variation.
Les symétries ($-f(x)$, $f(-x)$) peuvent inverser le sens de variation de la fonction d'origine.
La composition $g \circ f$ applique d'abord $f$ puis $g$: $(g \circ f)(x) = g(f(x))$. Son sens de variation dépend de ceux de $f$ et $g$.