- a + b = b + a (commutativité de l'addition)
- a * b = b * a (commutativité de la multiplication)
- (a + b) + c = a + (b + c) (associativité de l'addition)
- (a * b) * c = a * (b * c) (associativité de la multiplication)
- a * (b + c) = a * b + a * c (distributivité)
Définition
Nombre réel
Un nombre réel est un élément de l'ensemble des nombres qui inclut tous les nombres rationnels et irrationnels.
Nombres rationnels
Ce sont des nombres qui peuvent être exprimés sous la forme d'une fraction a/b, où a et b sont des entiers et b est non nul.
Nombres irrationnels
Ce sont des nombres qui ne peuvent pas être exprimés par une fraction de deux entiers. Les décimales de ces nombres ne se terminent jamais et ne deviennent jamais périodiques.
Ensemble des réels
L'ensemble des réels est souvent noté ℝ et il inclut tous les nombres rationnels et irrationnels.
Propriétés des nombres réels
Propriétés algébriques
Les nombres réels obéissent à certaines règles fondamentales des opérations algébriques : la commutativité, l'associativité et la distributivité. Cela signifie, par exemple, que pour tous nombres réels a, b et c, les opérations suivantes sont vraies :
Propriétés d'ordre
L'ensemble des nombres réels est totalement ordonné. Cela signifie qu'il est possible de comparer n'importe quels deux nombres réels a et b, et de dire qu'un et un seul des cas suivants est vrai : a < b, a = b, ou a > b. De plus, cet ordre est compatible avec les opérations de l'addition et de la multiplication. Si a < b et c < d, alors a + c < b + d et, si tous les nombres sont positifs, a * c < b * d.
Intervalles de réels
Définition des intervalles
Un intervalle est un ensemble de nombres réels situés entre deux bornes, appelées extrêmes. Un intervalle peut être fermé [a, b], ouvert ]a, b[, ou semi-ouvert (par exemple, ]a, b] ou [a, b[), et cela détermine si ses bornes appartiennent ou non à l'ensemble.
Opérations sur les intervalles
Les intervalles peuvent être additionnés, soustraits, multipliés et divisés de manière à manipuler des ensembles de nombres réels. Par exemple, l'intersection de deux intervalles représente une nouvelle plage où les deux intervalles se chevauchent. Ces opérations suivent également des règles précises basées sur les limites supérieure et inférieure des intervalles.
Applications des nombres réels
Utilisation en analyse
En mathématiques, les nombres réels sont utilisés pour définir et étudier des fonctions continues. Une fonction est dite continue si pour chaque petite variation d'entrée, il existe une petite variation de sortie. Les réels permettent d'analyser le comportement des courbes sur les graphes, d'étudier les limites, et de calculer des dérivées et des intégrales.
Utilisation en géométrie
Les nombres réels sont fondamentaux en géométrie analytique car ils permettent de définir les coordonnées sur un plan ou dans un espace. Grâce aux réels, il est possible de calculer des distances, de travailler avec des vecteurs, des droites, et des plans dans des dimensions variées.
A retenir :
Les nombres réels forment un ensemble complet et continu, intégrant à la fois les nombres rationnels et irrationnels. Ils constituent la base de nombreuses branches des mathématiques, notamment l'algèbre et l'analyse. Comprendre les propriétés et les opérations possibles sur les nombres réels facilite l'étude des fonctions, des limites, et des intégrales, tout en permettant d'aborder plus sereinement des concepts de géométrie et l'application mathématique à divers domaines scientifiques.