L’image réciproque de B par f est l’ensemble f−1(B) = {x ∈ E, f(x) ∈ B}.

Une fonction f : X −→ Y est injective, si tout élément de l’ensemble d’arrivée Y admet au plus un antécédent par f dans l’ensemble de départ X. Autrement dit : ∀x,x ′ ∈ X,x ̸= x ′ ⇒ f (x) ̸= f (x ′ ). Ou encore : ∀x,x ′ ∈ X,f (x) = f (x ′ ) ⇒ x = x ′

Une fonction f : X −→ Y est surjective si tout élément de l’ensemble d’arrivée Y admet au moins un antécédent par f dans l’ensemble de départ X. Autrement dit si : ∀y ∈ Y ,∃x ∈ X,y = f (x).

Une fonction f : X −→ Y est bijective si tout élément de l’ensemble d’arrivée Y admet exactement un antécédent par f dans l’ensemble de départ X. Autrement dit si : ∀y ∈ Y ,∃!x ∈ X,y = f (x).

∀x, f(x) = f(-x)

∀x, f(x) = f-(x)

limx→+∞ f(x) = l si et seulement si ∀ϵ > 0, ∃A ∈ R, ∀x ∈ R, x > A =⇒ |f(x) − l| < ϵ.

Soit f : I → R une fonction continue sur l’intervalle I. Soient a,b ∈ I tels que a < b. Alors, pour tout y compris entre f (a) et f (b), il existe un antécédent c ∈ [a,b] de y par f , c’est-à-dire : ∃c ∈ [a,b],f (c) = y. En particulier, si f (a) et f (b) sont de signes opposés, alors f s’annule au moins une fois sur [a,b].

Toute fonction f continue sur un segment [a,b],a < b ∈ R est bornée et atteint ses bornes. Autrement dit, f ([a,b]) = [m,M] ⊂ R) avec m = inf x∈[a,b] f (x), M = sup x∈[a,b] f (x)

Le taux d’accroissement τx0 : I −{x0} → R de la fonction f en x0 est τx0 : x 7→ f (x)−f (x0) x −x0 On dit que la fonction f est dérivable en x0 si τx0 a une limite finie f ′ (x0) = limx→x0 τx0 (x) ∈ R en x0. La droite d’équation y −f (x0) = (x −x0)f ′ (x0) s’appelle la tangente au graphe de f en x0.

Soient a,b ∈ R tels que a < b et f : [a,b] → R une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Alors il existe c ∈]a,b[ tel que f ′ (c) = f (b)−f (a) / b−a .