Les nombres irrationnels sont une catégorie fondamentale de l'ensemble des nombres réels. Contrairement aux nombres rationnels, ils ne peuvent pas être exprimés comme une fraction de deux entiers et possèdent une partie décimale infinie et non périodique. Cette fiche explore leur nature et leur place au sein de la grande famille des nombres réels.
Nombre décimal (D)
Un nombre qui peut s'écrire sous la forme a/10^n (où a ∈ Z et n ∈ N), caractérisé par une partie décimale finie.
Nombre rationnel (Q)
Un nombre qui peut s'écrire sous la forme p/q (où p ∈ Z et q ∈ Z*), dont la partie décimale est soit finie, soit infinie et périodique.
Nombre irrationnel
Un nombre réel qui ne peut pas être exprimé comme une fraction p/q et dont la partie décimale est infinie et non périodique.
Nombre réel (R)
L'ensemble de tous les nombres, incluant les nombres rationnels et les nombres irrationnels. Il représente tous les points d'une droite numérique.
1. Les Nombres Décimaux (D) 
Les nombres décimaux sont des nombres à virgule dont la partie après la virgule est finie. Ils peuvent s'écrire sous la forme a/10^n, où a est un entier relatif et n un entier naturel. L'ensemble des décimaux, noté D, inclut les entiers naturels (N) et les entiers relatifs (Z), car tout entier peut s'écrire avec une partie décimale nulle (ex: 4 = 4,0).
Par exemple, 3,12 = 312/10^2 est un décimal.
2. Les Nombres Rationnels (Q) 
Les nombres rationnels sont ceux qui peuvent être exprimés comme une fraction p/q, où p est un entier relatif et q un entier relatif non nul. Leur particularité est que leur écriture décimale est soit finie (ils sont alors aussi décimaux), soit infinie mais périodique (elle se répète indéfiniment). L'ensemble Q englobe les entiers naturels, les entiers relatifs et les décimaux.
Ainsi, 1/3 = 0,333... est un rationnel mais n'est pas un décimal. De même, -4 = -4/1 est un rationnel.
3. Les Nombres Irrationnels (I) 
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Les nombres irrationnels constituent l'ensemble des nombres réels qui ne sont pas rationnels. Ils ne peuvent donc pas s'écrire sous la forme d'une fraction p/q. Leur écriture décimale est infinie et non périodique, c'est-à-dire qu'aucune séquence de chiffres ne se répète à l'infini. Ils ne sont inclus dans aucun des ensembles N, Z, D ou Q.
La racine carrée de 2 n'est pas un nombre rationnel.
Des exemples célèbres incluent √2 ≈ 1,41421356... et π ≈ 3,14159265... qui sont des nombres irrationnels.
4. L'Ensemble des Nombres Réels (R) et les Inclusions 
L'ensemble des nombres réels, noté R, est le plus vaste ensemble de nombres étudié au lycée. Il est formé par l'union de tous les nombres rationnels (Q) et de tous les nombres irrationnels. Chaque point sur une droite numérique correspond à un nombre réel.
La relation entre les différents ensembles de nombres est une série d'inclusions strictes : les entiers naturels sont inclus dans les entiers relatifs, qui sont inclus dans les décimaux, qui sont inclus dans les rationnels, qui sont eux-mêmes inclus dans les réels.
Hiérarchie des ensembles de nombres
Pour illustrer cette hiérarchie, on peut comparer les ensembles à des lieux géographiques : un habitant de Chasseneuil est aussi un habitant de la Vienne, de la France, de l'Europe et de la Terre. Mais l'inverse n'est pas vrai : un habitant de la Terre n'est pas nécessairement un habitant de Chasseneuil.
A retenir :
- Les nombres irrationnels sont des nombres réels qui ne peuvent pas s'écrire comme une fraction p/q.
- Leur écriture décimale est infinie et non périodique (ex: √2, π).
- L'ensemble des nombres réels (R) est l'union des nombres rationnels (Q) et irrationnels.
- La hiérarchie des ensembles de nombres est : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.