Les nombres décimaux constituent une catégorie fondamentale de nombres réels, caractérisés par une écriture à virgule dont le nombre de chiffres après la virgule est fini. Ils sont essentiels pour représenter des quantités précises dans de nombreux domaines, notamment les mesures et les transactions financières.
Nombre décimal
Un nombre qui peut s'écrire sous la forme a/10^n, où 'a' est un entier relatif (a ∈ Z) et 'n' est un entier naturel (n ∈ N). Sa représentation à virgule possède un nombre fini de chiffres après la virgule.
Ensemble des nombres décimaux (D)
L'ensemble de tous les nombres décimaux, positifs ou négatifs, noté D.
Nombre entier naturel (N)
Un nombre entier positif ou nul (0, 1, 2, 3, ...). L'ensemble est noté N.
Nombre entier relatif (Z)
Un nombre entier positif, négatif ou nul (... -2, -1, 0, 1, 2, ...). L'ensemble est noté Z.
Définition et Notation des Nombres Décimaux 
Un nombre décimal est défini comme tout nombre pouvant s'exprimer sous la forme d'une fraction dont le numérateur est un entier relatif et le dénominateur est une puissance de 10. Cette propriété assure que sa représentation décimale (à virgule) comporte un nombre fini de chiffres après la virgule.
Forme canonique d'un nombre décimal.
Par exemple, 3,12 est un nombre décimal car il peut s'écrire 312/100, soit 312/10^2. De même, -0,5 est décimal (-5/10^1). En revanche, 1/3 n'est pas un nombre décimal car sa division donne 0,333... avec une infinité de chiffres après la virgule qui ne se termine pas.
L'Ensemble des Nombres Décimaux (D) 
L'ensemble de tous les nombres décimaux est noté D. Il inclut tous les nombres entiers, qu'ils soient naturels ou relatifs. En effet, un entier comme 4 peut s'écrire 4,0 ou 4,00, ce qui correspond à 4/10^0 ou 40/10^1 ou 400/10^2.
Cette observation conduit à une relation d'inclusion fondamentale entre les ensembles de nombres : l'ensemble des entiers naturels (N) est inclus dans l'ensemble des entiers relatifs (Z), qui est lui-même inclus dans l'ensemble des nombres décimaux (D).
Inclusions des ensembles de nombres.
Cela signifie que tout entier naturel est aussi un entier relatif, et tout entier relatif est aussi un nombre décimal. Cependant, l'inverse n'est pas vrai : un nombre décimal n'est pas nécessairement un entier relatif (ex: 3,12), et un entier relatif n'est pas nécessairement un entier naturel (ex: -5).
Propriétés et Utilisations des Décimaux 
La caractéristique principale des nombres décimaux est la finitude de leur développement décimal. Cette propriété les rend particulièrement adaptés pour les mesures et les calculs pratiques où une précision limitée est suffisante et nécessaire.
Ils sont omniprésents dans la vie quotidienne et scientifique :
- Mesures: Longueur (mètres, kilomètres), masse (kilogrammes, grammes), volume (litres), où les sous-unités sont souvent des puissances de 10 (dixièmes, centièmes, millièmes). Par exemple, 31m = 0,031km.
- Monnaie et économie: Les prix sont exprimés en unités et centimes, nécessitant l'usage de décimaux pour des calculs précis de budgets et transactions financières.
- Statistiques et proportions: Pour exprimer des pourcentages ou des proportions avec une précision donnée.
A retenir :
- Un nombre décimal est un nombre réel dont l'écriture à virgule possède un nombre fini de chiffres après la virgule.
- Il peut être exprimé sous la forme a/10^n, où a est un entier relatif (Z) et n est un entier naturel (N).
- L'ensemble des nombres décimaux est noté D.
- Les ensembles de nombres sont liés par les inclusions : N ⊂ Z ⊂ D. Tout entier naturel est un entier relatif, et tout entier relatif est un nombre décimal.
- Les nombres décimaux sont largement utilisés pour les mesures, la monnaie et les calculs nécessitant une précision finie.