Les nombres complexes peuvent être représentés sur un plan appelé le plan complexe. Chaque nombre complexe z = a + bi est représenté par le point de coordonnées (a, b). L'axe horizontal correspond à la partie réelle, et l'axe vertical à la partie imaginaire.
Définition
Nombre complexe
Un nombre complexe est un nombre qui s'exprime sous la forme a + bi, où a et b sont des nombres réels et i est l'unité imaginaire, vérifiant i² = -1.
Partie réelle
Dans un nombre complexe a + bi, la partie réelle est le nombre a.
Partie imaginaire
Dans un nombre complexe a + bi, la partie imaginaire est le nombre b, qui est multiplié par i.
Module
Le module d'un nombre complexe z = a + bi est la longueur de son vecteur et se calcule par |z| = √(a² + b²).
📐 Représentation graphique
🔄 Addition et soustraction
Pour additionner ou soustraire deux nombres complexes, il suffit d'additionner ou de soustraire séparément les parties réelles et les parties imaginaires. Par exemple, pour z₁ = a + bi et z₂ = c + di, leur somme est (a+c) + (b+d)i.
✖️ Multiplication
La multiplication de deux nombres complexes z₁ = a + bi et z₂ = c + di utilise la formule (a + bi)(c + di) = ac - bd + (ad + bc)i. Il est important de se rappeler que i² = -1 lors de l'expansion.
➗ Division
Pour diviser deux nombres complexes, on utilise le conjugué. Le conjugué de z = a + bi est a - bi. Pour z₁/z₂, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Cela permet d'obtenir un dénominateur réel.
📏 Module et argument
Le module représente la distance du point à l'origine dans le plan complexe. L'argument est l'angle formé avec l'axe des réels, mesuré dans le sens direct (anti-horaire) et exprimé en radians.
A retenir :
- Un nombre complexe se note a + bi.
- Les parties réelle et imaginaire sont respectivement a et b.
- Le module est calculé par |z| = √(a² + b²).
- Pour ajouter ou soustraire, combinez les parties correspondantes.
- Pour multiplier, utilisez la formule et i² = -1.
- Pour diviser, multipliez par le conjugué du dénominateur.