les logarithmes

Les Logarithmes : Fiche de Révision Complète

Fonction Exponentielle

La fonction exponentielle, notée exp(x) ou e^x, associe à tout nombre réel x le nombre e élevé à la puissance x. C'est la seule fonction égale à sa propre dérivée et qui vaut 1 en 0. Elle est toujours positive.

Logarithme Népérien (ln)

Le logarithme népérien (ou naturel), noté ln(x), est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Il répond à la question: 'quel est l'exposant x tel que e^x = a ?'. Il n'est défini que pour les nombres strictement positifs (a > 0).

Le Concept Clé : Inverse de l'Exponentielle

L'idée fondamentale du logarithme népérien est qu'il est la 'fonction inverse' de l'exponentielle. Si la fonction exponentielle e^x te permet de calculer la valeur d'une exponentielle, la fonction logarithme népérien ln(a) te permet de retrouver l'exposant. En d'autres termes : si tu connais e^x = a, alors tu peux dire que x = ln(a).
Cette relation est primordiale et se traduit par les propriétés suivantes, à connaître absolument :

\ln(a) = x \iff e^x = a

Relation fondamentale

À partir de cette relation, on déduit des résultats directs essentiels :

\ln(1) = 0 \quad (\text{car } e^0 = 1)

\ln(e) = 1 \quad (\text{car } e^1 = e)

\ln(e^x) = x \quad \text{pour tout réel } x

e^{\ln(a)} = a \quad \text{pour tout } a > 0

Une condition très importante : ln(a) n'existe que si a > 0. On ne peut jamais prendre le logarithme d'un nombre négatif ou nul.

Les Règles de Calcul Essentielles

Le cœur du chapitre sur les logarithmes réside dans ses propriétés de calcul. Elles sont cruciales pour simplifier des expressions et résoudre des équations. Elles sont valables pour tous les nombres a, b > 0 et pour tout réel n :

Logarithme d'un produit : ln(ab) = ln(a) + ln(b) (Exemple : ln(6) = ln(2) + ln(3))
Logarithme d'un quotient : ln(a/b) = ln(a) - ln(b) (Exemple : ln(1/2) = ln(1) - ln(2) = 0 - ln(2) = -ln(2))
Logarithme d'une puissance : ln(aⁿ) = n ln(a) (Exemple : ln(4) = ln(2²) = 2ln(2))

Deux astuces très utiles qui découlent de ces propriétés :

ln(1/a) = -ln(a)
ln(√a) = (1/2)ln(a)

Ces formules te permettent de résoudre des équations où l'inconnue se trouve dans l'exposant. Par exemple, pour résoudre e^2x+1 = 5, il suffit de prendre le logarithme népérien des deux côtés : ln(e^2x+1) = ln(5), ce qui simplifie en 2x+1 = ln(5). On isole ensuite x : x = (ln(5) - 1) / 2.

Comportement de la Fonction ln

La fonction ln(x) est définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[. Elle est strictement croissante sur son domaine de définition. Cela signifie que si x₁ < x₂, alors ln(x₁) < ln(x₂).
Ses limites sont également importantes :

\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty

\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty

f(x) = ln(x)

Représentation graphique de la fonction ln(x)

Un point clé pour le baccalauréat est la notion de croissances comparées. À l'infini, la fonction puissance 'gagne' sur le logarithme. Cela signifie que ln(x) grandit beaucoup plus lentement que x, xⁿ, ou même e^x. La limite suivante l'illustre :

\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0

Croissance comparée (ln vs puissance)

Dérivées et Primitives

Les formules de dérivées sont fondamentales pour l'étude de fonctions impliquant le logarithme :

La dérivée de ln(x) est 1/x (pour x > 0).
Si u est une fonction positive et dérivable, la dérivée de ln(u(x)) est u'(x)/u(x) (pour u(x) > 0).

Par exemple, la dérivée de ln(3x + 1) est 3/(3x + 1) (valable pour x > -1/3).
Cette dernière formule est très utile car elle fournit une primitive : la primitive de u'(x)/u(x) est ln(u(x)) + C (avec C une constante), pour u(x) > 0. Cela sert beaucoup en calcul d'aires, en probabilités et en étude de fonctions.

Le Logarithme Décimal (Bonus)

Bien que le logarithme népérien (ln) soit le plus couramment utilisé en mathématiques au lycée, il existe aussi le logarithme décimal, noté log(x). Il est 'ramené à la base 10' par la relation : log(x) = ln(x) / ln(10). La propriété log(10) = 1 est une conséquence directe de cette définition. Il est principalement utilisé en physique (pour le pH, les décibels) mais est moins central en maths que le logarithme népérien.

A retenir :

Résumé des notions clés :

Le logarithme népérien (ln) est la fonction inverse de l'exponentielle (e^x).
ln(a) = x équivaut à e^x = a.
Le domaine de définition de ln(x) est ]0 ; +∞[.
Les propriétés clés sont : ln(ab) = ln(a) + ln(b), ln(a/b) = ln(a) - ln(b), et ln(aⁿ) = n ln(a).
La fonction ln est strictement croissante et tend vers -∞ en 0⁺ et vers +∞ en +∞.
La dérivée de ln(x) est 1/x, et celle de ln(u(x)) est u'(x)/u(x).
Aux croissances comparées, la puissance 'gagne' sur le logarithme (ln(x) grandit moins vite que x).
Le logarithme décimal (log) est une variante basée sur 10, utilisée principalement en physique.