Définition
Fonction affine
Une fonction affine est une fonction du type f(x) = ax + b, où 'a' et 'b' sont des constantes et 'x' est la variable.
Coefficient directeur
Le coefficient 'a' dans une fonction affine f(x) = ax + b est appelé coefficient directeur. Il définit la pente de la droite représentant la fonction.
Ordonnée à l'origine
Le terme 'b' dans une fonction affine f(x) = ax + b est appelé ordonnée à l'origine. C'est la valeur de la fonction lorsque x = 0.
Fonction constante
Une fonction constante est une fonction affine où le coefficient directeur 'a' est égal à zéro, c'est-à-dire de la forme f(x) = b.
Représentation graphique d'une fonction affine
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite dans le plan cartésien. Cette droite est définie par son coefficient directeur 'a' qui indique sa pente et par son ordonnée à l'origine 'b' qui est le point où la droite coupe l'axe des ordonnées (l'axe vertical). La droite est croissante si 'a' est positif et décroissante si 'a' est négatif. Si a=0, la droite est horizontale.
Signe d'une fonction affine
Le signe d'une fonction affine f(x) = ax + b dépend des valeurs de 'a' et 'b'. Si 'a' ≠ 0, on peut déterminer le signe de la fonction en résolvant l'inéquation ax + b > 0 (ou ax + b < 0). Cette inéquation a pour solution l'ensemble des x pour lesquels la droite se trouve au-dessus (ou en dessous) de l'axe des abscisses. La racine de l'équation ax + b = 0, si elle existe, est appelée abscisse du point d'intersection avec l'axe des abscisses et est donnée par r = -b/a.
Variation d'une fonction affine
Les variations d'une fonction affine dépendent du coefficient directeur 'a'. Si 'a' est positif, la fonction est croissante sur R. Si 'a' est négatif, la fonction est décroissante sur R. La fonction est constante (ni croissante ni décroissante) uniquement si 'a' = 0.
Parité d'une fonction affine
Une fonction affine f(x) = ax + b n'est ni paire ni impaire en général. Une fonction est paire si f(x) = f(-x) pour tout x, ce qui n'est pas le cas ici car cela impliquerait a*x + b = -a*x + b, ce qui est possible seulement si a = 0 et b = 0, donc f(x) = 0, une fonction nulle. Une fonction est impaire si f(-x) = -f(x), ce qui n’est également pas possible pour les mêmes raisons que précédemment sauf si la fonction est strictement linéaire avec b=0, soit f(x) = ax.
A retenir :
Les fonctions affines, représentées par des droites sur un graphique, sont définies par leurs coefficients directeur et ordonnée à l'origine. Le signe de ces fonctions peut être déterminé par l'inéquation ax + b. La variation est déterminée par le coefficient directeur, conduisant à des fonctions croissantes, décroissantes, ou constantes. Enfin, ces fonctions sont généralement ni paires ni impaires, sauf dans des cas spécifiques très restreints.