Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels. Chaque nombre réel de cette suite est appelé un terme de la suite.
Suite numérique
Une liste ordonnée de nombres réels.
Terme d'une suite
Chaque nombre réel constituant une suite numérique.
Indice
Nombre entier naturel qui indique la position d'un terme dans la suite.
Formule explicite
Permet de calculer directement la valeur d'un terme (u_n) en fonction de son indice (n).
Formule par récurrence
Permet de calculer la valeur d'un terme (u_n) à partir de la valeur du ou des termes précédents (ex: u_{n-1}). Nécessite un premier terme.
Notations fondamentales 
Chaque terme d'une suite numérique est désigné par une lettre minuscule (souvent u, t, ou x) suivie d'un indice en bas à droite, indiquant sa position dans la suite. Par exemple, u_n représente le n-ième terme de la suite. L'indice peut commencer à 0 ou 1 selon la convention choisie.
Exemple : Pour la suite -2, 1, 4, 7, 10, 13, ...
t₁ = -2 (le 1er terme)
t₃ = 4 (le 3e terme)
Exemple : Pour la suite -2, 1, 4, 7, 10, 13, ...
t₁ = -2 (le 1er terme)
t₃ = 4 (le 3e terme)
Définition des termes d'une suite 
Il existe deux méthodes principales pour définir les termes d'une suite numérique :
1. La formule explicite 
Une formule est dite explicite lorsqu'elle permet de calculer directement n'importe quel terme de la suite (u_n) en fonction de son indice (n), sans avoir besoin de connaître les termes précédents. Elle est de la forme u_n = f(n).
Avantage : Permet de calculer un terme éloigné très rapidement.
Exemple : Si une suite est définie par u_n = 2n + 1, alors pour trouver le 5e terme, on calcule u₅ = 2(5) + 1 = 11.
Avantage : Permet de calculer un terme éloigné très rapidement.
Exemple : Si une suite est définie par u_n = 2n + 1, alors pour trouver le 5e terme, on calcule u₅ = 2(5) + 1 = 11.
Forme générale d'une formule explicite
2. La formule par récurrence 
Une formule est dite par récurrence lorsqu'elle exprime un terme de la suite (u_n) en fonction du ou des termes qui le précèdent (par exemple, u_{n-1}). Pour qu'une suite définie par récurrence soit calculable, il est indispensable de connaître le ou les premiers termes (appelés conditions initiales).
Avantage : Modélise souvent des phénomènes où l'état futur dépend de l'état présent.
Inconvénient : Pour calculer un terme éloigné, il faut calculer tous les termes intermédiaires.
Exemple : Soit une suite définie par u_n = u_{n-1} + 3 pour n > 1, avec u₁ = -2. Alors :
u₂ = u₁ + 3 = -2 + 3 = 1
u₃ = u₂ + 3 = 1 + 3 = 4
Avantage : Modélise souvent des phénomènes où l'état futur dépend de l'état présent.
Inconvénient : Pour calculer un terme éloigné, il faut calculer tous les termes intermédiaires.
Exemple : Soit une suite définie par u_n = u_{n-1} + 3 pour n > 1, avec u₁ = -2. Alors :
u₂ = u₁ + 3 = -2 + 3 = 1
u₃ = u₂ + 3 = 1 + 3 = 4
Forme générale d'une formule par récurrence
A retenir :
- Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels.
- Chaque nombre de la suite est un terme, noté avec une lettre et un indice (ex: u_n).
- La formule explicite (u_n = f(n)) permet de calculer directement n'importe quel terme en fonction de son rang.
- La formule par récurrence (u_n = f(u_{n-1})) définit un terme à partir du précédent, nécessitant un premier terme connu.