L'intersection en géométrie, c'est trouver les points communs entre deux figures. Pour les droites et les plans dans l'espace, il existe plusieurs façons de se rencontrer ou non. Cette fiche t'aidera à comprendre ces situations et comment les résoudre.
Droite
Une ligne droite, infinie, définie par un point et une direction.
Plan
Une surface plane, infinie, définie par un point et deux directions non alignées, ou par un point et une direction perpendiculaire (vecteur normal).
Vecteur directeur
Un vecteur qui donne la direction d'une droite ou d'un plan.
Vecteur normal
Un vecteur perpendiculaire à un plan.
Sécant
Se dit de figures géométriques qui se coupent en un ou plusieurs points.
Les Droites et les Plans En géométrie dans l'espace, une droite est souvent décrite par un point par lequel elle passe et un vecteur qui indique sa direction. On parle d'équation paramétrique. Un plan est défini par un point et deux vecteurs directeurs non colinéaires, ou par un point et un vecteur normal (perpendiculaire au plan). On utilise alors une équation cartésienne.
Pour une droite D passant par un point A(x₀, y₀, z₀) et de vecteur directeur u(a, b, c), les coordonnées d'un point M(x, y, z) sur cette droite sont données par :
Équation paramétrique d'une droite
Pour un plan P, son équation cartésienne est de la forme Ax + By + Cz + D = 0. Le vecteur n(A, B, C) est un vecteur normal au plan, c'est-à-dire qu'il est perpendiculaire à tous les vecteurs du plan.
Intersection de deux Droites Deux droites dans l'espace peuvent être :
- Sécantes : Elles se coupent en un seul point. Pour trouver ce point, on écrit les équations paramétriques des deux droites et on cherche si un couple de valeurs (t, t') existe pour lequel les coordonnées (x, y, z) sont les mêmes.
- Parallèles et distinctes : Elles ont la même direction mais ne se coupent jamais. Leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (l'un est un multiple de l'autre), mais aucun point n'est commun.
- Confondue : Elles sont la même droite. Leurs vecteurs directeurs sont colinéaires et elles ont au moins un point en commun (donc tous leurs points sont communs).
- Non coplanaires (ou gauches) : Elles ne sont ni parallèles, ni sécantes. Elles ne se rencontrent jamais et ne sont pas dans le même plan.
Intersection d'une Droite et d'un Plan Une droite et un plan peuvent se rencontrer de trois façons :
- Sécants : La droite traverse le plan en un seul point. Pour le trouver, on remplace les expressions de x, y, z de l'équation paramétrique de la droite dans l'équation cartésienne du plan. On obtient une équation avec 't'. Si 't' a une solution unique, on a un point d'intersection.
- Parallèles et distincts : La droite et le plan ne se coupent pas. Le vecteur directeur de la droite est perpendiculaire au vecteur normal du plan (leur produit scalaire est nul), et la droite n'est pas incluse dans le plan.
- La droite est incluse dans le plan : Tous les points de la droite sont aussi des points du plan. Le vecteur directeur de la droite est perpendiculaire au vecteur normal du plan, et un point de la droite vérifie l'équation du plan.
Intersection de deux Plans Deux plans dans l'espace peuvent être :
- Sécants : Ils se coupent selon une droite. Pour trouver l'équation de cette droite, on résout le système formé par les deux équations cartésiennes des plans. La solution est une équation de droite (souvent paramétrique).
- Parallèles et distincts : Ils ne se coupent jamais. Leurs vecteurs normaux sont colinéaires (l'un est un multiple de l'autre), mais les plans sont différents.
- Confondus : Ils sont le même plan. Leurs équations cartésiennes sont proportionnelles.
A retenir :
En résumé :
- Pour trouver une intersection, on utilise les équations des figures (paramétriques pour les droites, cartésiennes pour les plans).
- On résout un système d'équations pour trouver les points communs.
- L'intersection peut être un point, une droite, ou l'ensemble vide (pas d'intersection).
- Les cas particuliers (parallélisme, inclusion) sont importants à identifier.