Deux événements A et B sont dits indépendants si la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de réalisation de l'autre. Cette notion est fondamentale en probabilités pour simplifier l'analyse de situations complexes et est vérifiable par diverses méthodes, notamment à l'aide de tableaux ou d'arbres de probabilités.
Probabilité conditionnelle P(B|A)
Probabilité que l'événement B se réalise, sachant que l'événement A s'est déjà réalisé. Elle est définie par P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A), pour P(A) ≠ 0.
Cardinal Card(A)
Le nombre d'éléments d'un ensemble fini A. Dans une situation d'équiprobabilité, P(A) = Card(A) / Card(Ω).
Événement
Un sous-ensemble de l'univers Ω, c'est-à-dire un ensemble de résultats possibles d'une expérience aléatoire.
Univers Ω
L'ensemble de toutes les issues (résultats) possibles d'une expérience aléatoire.
Comprendre la Probabilité Conditionnelle 
Avant d'aborder l'indépendance, il est essentiel de maîtriser la notion de probabilité conditionnelle. La probabilité conditionnelle de B sachant A, notée PA(B) ou P(B|A), est la probabilité que l'événement B se réalise, sachant que l'événement A s'est déjà réalisé. Elle n'est définie que si P(A) ≠ 0.
Dans un contexte d'équiprobabilité, cette formule peut être exprimée en termes de cardinaux : PA(B) = Card(A ∩ B) / Card(A).
Définition de l'Indépendance 
Deux événements A et B sont dits indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de réalisation de l'autre. Formellement, si P(A) ≠ 0, A et B sont indépendants si et seulement si PA(B) = P(B). Autrement dit, la probabilité de B sachant A est égale à la probabilité de B sans condition.
Une propriété équivalente et très utile pour vérifier l'indépendance est la suivante : A et B sont indépendants si et seulement si la probabilité de leur intersection est égale au produit de leurs probabilités.
Il est important de noter que si P(A) ≠ 0 et P(B) ≠ 0, alors A et B sont indépendants si et seulement si PA(B) = P(B), ce qui est équivalent à PB(A) = P(A).
Vérifier l'Indépendance avec un Tableau 
Les tableaux à double entrée sont très pratiques pour organiser les données et calculer les probabilités nécessaires à la vérification de l'indépendance. Pour vérifier si deux événements sont indépendants à l'aide d'un tableau, il faut calculer P(A), P(B) et P(A ∩ B), puis vérifier si P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Exemple de tableau d'effectifs pour l'indépendance
Prenons l'exemple de l'enquête de satisfaction d'une compagnie aérienne (voir tableau ci-dessus). Soient S l'événement « le client est satisfait » et I l'événement « le client a acheté son billet par internet ». Pour vérifier l'indépendance, nous calculons :
- P(S) = Card(S) / Card(Ω) = 900 / 1000 = 0,9
- P(I) = Card(I) / Card(Ω) = 800 / 1000 = 0,8
- P(S ∩ I) = Card(S ∩ I) / Card(Ω) = 720 / 1000 = 0,72
Vérifier l'Indépendance avec un Arbre Pondéré 
Les arbres pondérés permettent de visualiser les probabilités conditionnelles et les probabilités d'intersection. Pour vérifier l'indépendance de A et S, il faut calculer P(S) et PA(S) (ou PĀ(S)). Si PA(S) = P(S), alors les événements sont indépendants.
Exemple d'arbre pondéré pour l'indépendance
Considérons l'exemple des clubs d'activités artistiques (A) et sportives (S) dans un lycée (voir arbre ci-dessus). Pour vérifier si A et S sont indépendants, nous devons compléter l'arbre avec les probabilités données (P(A)=0,4, PA(S)=0,2, PĀ(S)=0,3) et calculer P(S).
P(S) = P(S ∩ A) + P(S ∩ Ā) = P(S|A) × P(A) + P(S|Ā) × P(Ā) = 0,2 × 0,4 + 0,3 × (1-0,4) = 0,08 + 0,3 × 0,6 = 0,08 + 0,18 = 0,26.
Nous comparons PA(S) = 0,2 avec P(S) = 0,26. Puisque PA(S) ≠ P(S), les événements A et S ne sont pas indépendants.
P(S) = P(S ∩ A) + P(S ∩ Ā) = P(S|A) × P(A) + P(S|Ā) × P(Ā) = 0,2 × 0,4 + 0,3 × (1-0,4) = 0,08 + 0,3 × 0,6 = 0,08 + 0,18 = 0,26.
Nous comparons PA(S) = 0,2 avec P(S) = 0,26. Puisque PA(S) ≠ P(S), les événements A et S ne sont pas indépendants.
A retenir :
- Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre.
- La condition clé d'indépendance est P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
- Une autre condition équivalente est PA(B) = P(B) (si P(A) ≠ 0).
- Pour vérifier l'indépendance avec un tableau, calculez P(A), P(B) et P(A ∩ B) et comparez P(A ∩ B) avec P(A) × P(B).
- Pour vérifier l'indépendance avec un arbre pondéré, calculez P(B) et PA(B) et comparez-les.