Fonction numérique
Une fonction numérique est un procédé qui, à tout nombre d'un ensemble de départ (appelé domaine de définition), associe au plus un unique nombre réel. On la note généralement f, g, h, et l'image d'un nombre x par la fonction f est notée f(x).
Domaine de définition
Le domaine de définition d'une fonction f, noté Df, est l'ensemble de tous les nombres réels x pour lesquels f(x) existe et peut être calculé. Il faut exclure les valeurs qui annulent un dénominateur ou rendent une racine carrée négative, par exemple.
Parité d'une fonction
Une fonction est paire si pour tout x de son domaine de définition, -x est aussi dans Df et f(-x) = f(x). Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle est impaire si pour tout x de Df, -x est aussi dans Df et f(-x) = -f(x). Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Les fonctions affines
Les fonctions affines sont parmi les plus simples et les plus courantes. Elles sont de la forme f(x) = ax + b, où 'a' et 'b' sont des nombres réels. Le nombre 'a' est appelé le coefficient directeur (ou pente) de la droite représentative, et 'b' est l'ordonnée à l'origine (le point où la droite coupe l'axe des y).
- Si a > 0, la fonction est strictement croissante.
- Si a < 0, la fonction est strictement décroissante.
- Si a = 0, la fonction est constante (f(x) = b), sa représentation graphique est une droite horizontale.
f(x) = 2x + 1g(x) = -x + 3
Exemples de fonctions affines
Les fonctions de référence
Il existe plusieurs fonctions de référence que tu dois connaître parfaitement, car elles servent de base à l'étude de fonctions plus complexes. Chaque fonction a des propriétés et une représentation graphique spécifiques.
Fonction carrée
C'est la fonction f(x) = x². Son domaine de définition est ℝ. Elle est paire, et sa courbe est une parabole dont le sommet est l'origine (0,0). Elle est décroissante sur ]-∞; 0] et croissante sur [0; +∞[.
f(x) = x^2
Fonction carrée
Fonction inverse
C'est la fonction f(x) = 1/x. Son domaine de définition est ℝ* (tous les réels sauf 0). Elle est impaire. Sa courbe est une hyperbole composée de deux branches. Elle est strictement décroissante sur ]-∞; 0[ et strictement décroissante sur ]0; +∞[.
f(x) = 1/x
Fonction inverse
Fonction racine carrée
C'est la fonction f(x) = √x. Son domaine de définition est [0; +∞[ car la racine carrée d'un nombre négatif n'est pas définie dans les réels. Elle est strictement croissante sur son domaine de définition.
f(x) = sqrt(x)
Fonction racine carrée
Fonction cube
C'est la fonction f(x) = x³. Son domaine de définition est ℝ. Elle est impaire et strictement croissante sur ℝ.
Sens de variation d'une fonction
Le sens de variation d'une fonction décrit si elle est croissante, décroissante ou constante sur un intervalle donné. Pour le déterminer, on peut étudier le signe de la différence f(b) - f(a) pour a < b dans l'intervalle, ou utiliser la dérivée en terminale.
- Croissante : Si pour tous a et b dans un intervalle tels que a < b, alors f(a) ≤ f(b).
- Décroissante : Si pour tous a et b dans un intervalle tels que a < b, alors f(a) ≥ f(b).
- Constante : Si pour tous a et b dans un intervalle, f(a) = f(b).
Opérations sur les fonctions
Tu peux effectuer des opérations comme l'addition, la soustraction, la multiplication et la division de fonctions. Le domaine de définition de la fonction résultante est l'intersection des domaines de définition des fonctions de départ, en excluant les valeurs qui annulent un dénominateur en cas de division.
La composition de fonctions est une opération plus complexe : (f ∘ g)(x) = f(g(x)). Pour que f(g(x)) soit définie, il faut que x appartienne au domaine de g, et que g(x) appartienne au domaine de f.
A retenir :
Résumé des notions clés
- Une fonction associe un nombre à un autre, son domaine de définition est l'ensemble des valeurs pour lesquelles elle est calculable.
- Les fonctions affines (f(x) = ax + b) sont représentées par des droites ; leur sens de variation dépend du signe de 'a'.
- Les fonctions de référence (carrée, inverse, racine carrée, cube) ont des propriétés et des courbes à connaître par cœur.
- Le sens de variation indique si une fonction monte, descend ou reste constante sur un intervalle.
- La parité (paire ou impaire) donne des informations sur la symétrie de la courbe.
- Les opérations et la composition de fonctions permettent de construire de nouvelles fonctions.
- Maîtriser ces bases est essentiel pour l'étude de fonctions plus complexes et la résolution de problèmes.