Fonctions affines: représentation graphique et propriétés

Fonction affine

Une fonction affine est une fonction f définie sur R par f(x) = ax + b, où a et b sont des nombres réels fixés. Le nombre a est appelé coefficient directeur (ou pente) et b est appelé ordonnée à l'origine.

Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction affine f(x) = ax + b est une droite dans un repère orthogonal.

Coefficient directeur (a)

Le coefficient directeur a indique la pente de la droite. Il mesure l'accroissement de f(x) pour un accroissement de 1 de x. Si a > 0, la fonction est croissante ; si a < 0, la fonction est décroissante ; si a = 0, la fonction est constante (f(x) = b).

Ordonnée à l'origine (b)

L'ordonnée à l'origine b est la valeur de f(x) lorsque x = 0, c'est-à-dire le point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. Ce point a pour coordonnées (0; b).

Représentation Graphique d'une Fonction Affine

La représentation graphique d'une fonction affine f(x) = ax + b est toujours une droite. Pour tracer cette droite, il suffit de connaître deux points qui lui appartiennent. Voici comment procéder :

Utiliser l'ordonnée à l'origine (b) : C'est le point où la droite coupe l'axe des ordonnées (l'axe vertical). Ses coordonnées sont toujours (0; b).
Trouver un deuxième point : Choisis une valeur de x (par exemple x = 1 ou x = 2) et calcule son image f(x). Cela te donnera un deuxième point (x; f(x)).
Tracer la droite : Une fois que tu as ces deux points, place-les sur le repère et trace la droite qui les relie.

Le coefficient directeur a te donne une information précieuse sur la "pente" de la droite. Si tu te déplaces d'une unité vers la droite sur l'axe des abscisses, la valeur de f(x) varie de a unités verticalement (vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0).

f(x) = 2*x + 1g(x) = -x + 3

Exemples de fonctions affines f(x) = 2x + 1 (bleue) et g(x) = -x + 3 (verte).

Propriétés des Fonctions Affines

Sens de variation

Le sens de variation d'une fonction affine dépend uniquement du signe de son coefficient directeur a :

Si a > 0 (positif), la fonction f est croissante. Cela signifie que lorsque x augmente, f(x) augmente aussi. La droite "monte" de gauche à droite.
Si a < 0 (négatif), la fonction f est décroissante. Cela signifie que lorsque x augmente, f(x) diminue. La droite "descend" de gauche à droite.
Si a = 0, la fonction f est constante. Elle s'écrit f(x) = b. La droite est horizontale.

Signe de f(x)

Pour étudier le signe de f(x) = ax + b, on cherche la valeur de x pour laquelle f(x) = 0. C'est le point où la droite coupe l'axe des abscisses (l'axe horizontal). Ce point est appelé racine de la fonction.

ax + b = 0 \implies ax = -b \implies x = -\frac{b}{a}

Une fois que tu as trouvé cette valeur x = -b/a, tu peux construire un tableau de signes :

Si a > 0, f(x) est négative avant -b/a et positive après.
Si a < 0, f(x) est positive avant -b/a et négative après.

Comment Déterminer une Fonction Affine ?

Pour trouver l'expression f(x) = ax + b d'une fonction affine, tu as besoin de deux points (x₁, y₁) et (x₂, y₂) qui appartiennent à la droite, ou de deux images f(x₁) et f(x₂).

Calcul du coefficient directeur a :

Le coefficient directeur a peut être calculé par la formule :

a = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Cette formule représente le "taux de variation" entre les deux points. Elle montre bien comment a est la variation verticale divisée par la variation horizontale.

Calcul de l'ordonnée à l'origine b :

Une fois que tu as trouvé a, tu peux utiliser l'un des points connus (x₁, y₁) dans l'équation f(x) = ax + b :

y_1 = a \cdot x_1 + b

De là, tu peux isoler b = y₁ - a ⋅ x₁.

A retenir :

Résumé des notions clés :

Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b.
Sa représentation graphique est une droite.
a est le coefficient directeur (pente) : a > 0 (croissante), a < 0 (décroissante), a = 0 (constante).
b est l'ordonnée à l'origine : la droite coupe l'axe des ordonnées au point (0; b).
Pour tracer la droite, il faut deux points.
La racine de la fonction (où f(x) = 0) est x = -b/a.
Le coefficient directeur a se calcule avec : a = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁).