Étude des variations d'une fonction

Fonction Croissante

Une fonction f est dite croissante sur un intervalle I si pour tous nombres a et b de I tels que a < b, on a f(a) ≤ f(b). Graphiquement, cela signifie que la courbe « monte » de gauche à droite sur cet intervalle.

Fonction Décroissante

Une fonction f est dite décroissante sur un intervalle I si pour tous nombres a et b de I tels que a < b, on a f(a) ≥ f(b). Graphiquement, cela signifie que la courbe « descend » de gauche à droite sur cet intervalle.

Fonction Monotone

Une fonction est monotone sur un intervalle si elle est soit croissante, soit décroissante sur cet intervalle. Une fonction peut être monotone sur plusieurs intervalles, mais pas nécessairement sur l'ensemble de son domaine de définition.

Extremum (Maximum/Minimum)

Un maximum local (ou relatif) est la plus grande valeur prise par la fonction sur un intervalle donné. Un minimum local (ou relatif) est la plus petite valeur prise par la fonction sur un intervalle donné. On parle d'extremum pour désigner indifféremment un maximum ou un minimum.

Comprendre les variations d'une fonction

L'étude des variations d'une fonction est une étape fondamentale en analyse. Elle consiste à déterminer sur quels intervalles la fonction est croissante, décroissante ou constante. Cette analyse permet de mieux comprendre le comportement d'une fonction et de dessiner sa courbe représentative de manière plus précise. Pour un lycéen, maîtriser cette notion est essentiel pour résoudre de nombreux problèmes et interpréter des situations concrètes modélisées par des fonctions.

Méthodes d'étude des variations

Il existe plusieurs méthodes pour étudier les variations d'une fonction, en fonction du niveau et des outils mathématiques à disposition. Les deux principales approches sont l'étude directe à partir de la définition et l'utilisation de la dérivée, cette dernière étant la plus efficace en terminale.

Méthode 1 : Étude par la définition (Seconde/Première)

Cette méthode consiste à prendre deux nombres a et b dans un intervalle I tel que a < b, puis à comparer f(a) et f(b). Si f(a) ≤ f(b), la fonction est croissante sur I. Si f(a) ≥ f(b), elle est décroissante. Cette méthode est souvent utilisée pour les fonctions simples (affines, carrée, inverse) ou pour démontrer des propriétés générales.
Exemple : Pour montrer que f(x) = x² est croissante sur [0; +∞[ :
Soient a, b ∈ [0; +∞[ avec a < b.
On veut comparer a² et b². Comme a et b sont positifs, on peut multiplier l'inégalité par a puis par b. Ou bien, on étudie le signe de f(b) - f(a) = b² - a² = (b-a)(b+a). Puisque a < b, b-a > 0. Puisque a, b ≥ 0, b+a ≥ 0 (et même > 0 si a ≠ b). Donc (b-a)(b+a) > 0, ce qui signifie f(b) - f(a) > 0, donc f(b) > f(a). La fonction est bien croissante sur [0; +∞[.

Méthode 2 : Utilisation de la dérivée (Première/Terminale)

Cette méthode est la plus puissante et la plus couramment utilisée. Elle repose sur le lien entre le signe de la dérivée d'une fonction et ses variations. Pour une fonction f dérivable sur un intervalle I :

Si pour tout x ∈ I, f'(x) > 0, alors f est strictement croissante sur I.
Si pour tout x ∈ I, f'(x) < 0, alors f est strictement décroissante sur I.
Si pour tout x ∈ I, f'(x) = 0, alors f est constante sur I.

Les points où la dérivée s'annule en changeant de signe correspondent à des extremums locaux (maximums ou minimums).

Étapes pour étudier les variations avec la dérivée :

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f.
Calculer la dérivée f'(x) de la fonction.
Étudier le signe de f'(x) sur l'ensemble de définition. Pour cela, on cherche les valeurs de x pour lesquelles f'(x) = 0, et on construit un tableau de signes.
En déduire les intervalles où f est croissante ou décroissante.
Calculer les valeurs de f(x) aux bornes des intervalles de monotonie et aux points où f'(x) = 0 (extremums).
Récapituler toutes ces informations dans un tableau de variations.

\text{Si } f'(x) > 0 \Rightarrow f \text{ est croissante} \\ \text{Si } f'(x) < 0 \Rightarrow f \text{ est décroissante}

Lien entre signe de la dérivée et variations

Le tableau de variations

Le tableau de variations est un outil essentiel pour synthétiser l'étude d'une fonction. Il se présente généralement sur trois lignes :

La première ligne pour la variable x, avec les bornes de l'ensemble de définition et les valeurs annulant la dérivée.
La deuxième ligne pour le signe de f'(x) (souvent + ou -).
La troisième ligne pour les variations de f(x) (flèches montantes pour croissant, descendantes pour décroissant), avec les valeurs de la fonction aux points clés (bornes, extremums).

f(x) = x^3 - 3*x

Exemple de fonction avec un maximum et un minimum local.

Dans l'exemple ci-dessus, pour f(x) = x³ - 3x, la dérivée est f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x-1)(x+1).
Les racines de f'(x) sont x = -1 et x = 1.
- Sur ]-∞; -1[, f'(x) > 0, donc f est croissante.
- Sur ]-1; 1[, f'(x) < 0, donc f est décroissante.
- Sur ]1; +∞[, f'(x) > 0, donc f est croissante.
La fonction présente un maximum local en x = -1 (f(-1) = 2) et un minimum local en x = 1 (f(1) = -2).

Applications et enjeux

L'étude des variations est cruciale pour :

Tracer le graphique d'une fonction sans utiliser de calculatrice graphique, en connaissant ses points clés et son allure.
Résoudre des problèmes d'optimisation : trouver la valeur maximale ou minimale d'une quantité (surface, volume, coût, profit...).
Comprendre des phénomènes physiques, économiques ou biologiques modélisés par des fonctions, comme l'évolution d'une population, la trajectoire d'un projectile ou la rentabilité d'une entreprise.
Déduire le nombre de solutions d'une équation f(x) = k à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires et du tableau de variations.

A retenir :

Résumé des notions clés

La croissance/décroissance d'une fonction décrit si sa courbe « monte » ou « descend ».
La monotonie sur un intervalle signifie que la fonction est soit entièrement croissante, soit entièrement décroissante sur cet intervalle.
La méthode de la dérivée est la plus efficace : le signe de f'(x) donne les variations de f(x).
Un extremum (maximum ou minimum) correspond à un point où f'(x) = 0 et change de signe.
Le tableau de variations synthétise l'étude et est indispensable pour visualiser le comportement de la fonction.
L'étude des variations est essentielle pour le tracé de courbes, l'optimisation et la résolution d'équations.