Équilibre de Nash et ses variantes

L'équilibre de Nash, introduit par John F. Nash, est la pierre angulaire de l'analyse des interactions stratégiques en théorie des jeux. Il s'applique aux jeux non coopératifs, où les joueurs prennent des décisions indépendantes dans le but de maximiser leur propre gain. Un profil de stratégies est un équilibre de Nash si, pour chaque joueur, la stratégie qu'il choisit est la meilleure réponse aux stratégies choisies par les autres joueurs. Cela signifie qu'aucun joueur ne peut améliorer son résultat en changeant unilatéralement de stratégie. Ce concept permet de prédire les résultats stables dans une multitude de contextes, allant de l'économie à la politique, en passant par la biologie évolutive. Il existe toujours un équilibre de Nash, potentiellement en stratégies mixtes, pour tout jeu fini avec un nombre fini de joueurs et de stratégies pures.

Dans un jeu donné, les joueurs peuvent choisir entre des stratégies pures ou des stratégies mixtes. Une stratégie pure implique le choix d'une action spécifique avec certitude. Si un équilibre de Nash existe en stratégies pures, il est généralement facile à identifier. Cependant, de nombreux jeux n'admettent pas d'équilibre de Nash en stratégies pures. C'est le cas du jeu "Pierre-Feuille-Ciseaux" ou des "Centimes assortis". Dans ces situations, l'équilibre de Nash est trouvé en stratégies mixtes. Ici, un joueur choisit ses actions avec certaines probabilités. L'équilibre en stratégies mixtes est atteint lorsque chaque joueur choisit une distribution de probabilités telle qu'il est indifférent entre toutes les stratégies pures auxquelles il attribue une probabilité strictement positive, étant donné les stratégies mixtes des autres joueurs. Le théorème d'existence de Nash garantit qu'au moins un équilibre de Nash existe toujours dans tout jeu fini, que ce soit en stratégies pures ou mixtes.

Si l'équilibre de Nash est un concept puissant, il peut parfois conduire à des prédictions qui semblent irrationnelles ou peu crédibles, notamment dans les jeux dynamiques où les décisions sont séquentielles. Pour pallier ces limites, plusieurs raffinements ont été développés:

• Équilibre de Nash Parfait en Sous-Jeu (SPNE): Introduit par Reinhard Selten, le SPNE élimine les menaces et promesses non crédibles dans les jeux dynamiques. Une stratégie est un SPNE si elle constitue un équilibre de Nash dans chaque sous-jeu du jeu original. Cela impose une exigence de rationalité séquentielle, assurant que les joueurs agissent de manière optimale à chaque étape du jeu, même dans les branches du jeu qui ne seraient jamais atteintes si les stratégies étaient suivies.
• Équilibre Parfait Bayésien (EPB): Applicable aux jeux à information incomplète, où les joueurs n'ont pas une connaissance parfaite des préférences ou des types des autres joueurs. L'EPB combine des stratégies (pures ou mixtes) avec des croyances sur les types des autres joueurs et exige que ces croyances soient cohérentes avec les stratégies observées, lorsque c'est possible. Il s'agit d'un concept plus complexe qui intègre la notion d'apprentissage et de mise à jour des croyances via la règle de Bayes.
• Équilibre corrélé: Ce concept élargit l'ensemble des équilibres de Nash en permettant aux joueurs de coordonner leurs actions via un mécanisme externe (un 'coordinateur') qui leur fait des recommandations. Bien que les joueurs puissent choisir de ne pas suivre ces recommandations, l'équilibre corrélé est atteint si aucun joueur n'a intérêt à dévier de la recommandation, étant donné que les autres la suivent. L'ensemble des équilibres corrélés inclut toujours l'ensemble des équilibres de Nash et peut mener à des résultats Pareto-supérieurs.

Ces variantes enrichissent la capacité d'analyse de la théorie des jeux en s'adaptant à des contextes plus complexes et en proposant des prédictions plus robustes et intuitives.