Pour résoudre une équation du second degré de la forme ax² + bx + c = 0, on utilise généralement la formule quadratique :
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a). Cette formule permet de trouver les solutions de l'équation, appelées racines.
Qu'est-ce qu'un polynôme du second degré ?
Définition
Définition d'un polynôme du second degré
Un polynôme du second degré est une expression de la forme ax² + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels et a ≠ 0.
Racines d'un polynôme
Les racines d'un polynôme du second degré sont les valeurs de x pour lesquelles le polynôme est égal à zéro.
Forme canonique
Un polynôme du second degré peut souvent être réécrit sous la forme a(x - h)² + k, où (h, k) est le sommet de la parabole représentée par le polynôme.
Résolution des équations du second degré
Le terme sous la racine, b² - 4ac, est appelé le discriminant (∆). Il permet de déterminer le nombre et le type de solutions :
- Si ∆ > 0, il y a deux solutions réelles et distinctes.
- Si ∆ = 0, il y a une solution réelle double.
- Si ∆ < 0, il n'y a pas de solutions réelles (les solutions sont complexes).
Il est essentiel de bien calculer le discriminant pour savoir combien de solutions réelles l'équation possède.
Transformer un polynôme en forme canonique
Pour transformer un polynôme du second degré de la forme ax² + bx + c en sa forme canonique a(x - h)² + k, il est souvent utile de compléter le carré :
- Diviser b par 2 et le mettre au carré.
- Ajouter et soustraire ce carré à l'expression du polynôme.
- Factoriser pour obtenir la forme canonique.
La forme canonique est particulièrement utile pour identifier le sommet de la parabole et comprendre son orientation.
A retenir :
- Un polynôme du second degré a la forme ax² + bx + c.
- Les racines d'un polynôme sont les solutions de l'équation ax² + bx + c = 0.
- Calculer le discriminant ∆ = b² - 4ac est crucial pour déterminer le nombre de solutions réelles.
- La formule quadratique donne les racines possibles : x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a).
- La transformation en forme canonique permet de mieux visualiser la parabole sous forme a(x - h)² + k.