Équations différentielles linéaires du premier ordre

Équation différentielle linéaire du premier ordre

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation de la forme y' + a(x)y = b(x), où y est une fonction inconnue de x, y' sa dérivée première par rapport à x, et a(x) et b(x) sont des fonctions connues continues sur un intervalle I.

Équation homogène (ou sans second membre)

Il s'agit de l'équation y' + a(x)y = 0. C'est le premier pas pour résoudre une équation complète.

Solution générale

La solution générale d'une équation différentielle est l'ensemble de toutes les fonctions qui satisfont l'équation. Elle inclut une constante d'intégration.

Introduction aux Équations Différentielles

Les équations différentielles sont des outils mathématiques fondamentaux pour décrire des phénomènes où des quantités varient en fonction d'autres, comme le temps ou l'espace. Elles apparaissent dans de nombreux domaines : physique (mouvement, électricité), chimie (réactions), biologie (croissance de populations), économie... Au lycée, nous nous concentrons sur les équations différentielles linéaires du premier ordre, qui sont les plus simples et un excellent point de départ.

Forme Générale et Vocabulaire

Une équation différentielle linéaire du premier ordre s'écrit sous la forme y'(x) + a(x)y(x) = b(x).
Ici :

y(x) est la fonction inconnue que l'on cherche (souvent notée simplement y).
y'(x) est la dérivée de y par rapport à x (souvent notée y').
a(x) est une fonction connue, souvent une constante comme 'a'.
b(x) est une autre fonction connue, appelée le 'second membre'. Si b(x) = 0, l'équation est dite homogène ou sans second membre.

La fonction y est définie sur un intervalle I (par exemple, ℝ ou ]0, +∞[).

Résolution d'une Équation Différentielle Linéaire du Premier Ordre

La résolution d'une équation de la forme y' + a(x)y = b(x) se fait en deux étapes cruciales :

Étape 1 : Résolution de l'équation homogène (ou sans second membre)

On commence par résoudre l'équation y' + a(x)y = 0.
Cette équation peut se réécrire y' = -a(x)y. Si y n'est pas la fonction nulle, on peut séparer les variables :
&frac;y'y = -a(x)
En intégrant des deux côtés, on obtient :
ln|y| = −∫a(x)dx + C'
|y| = e^{−∫a(x)dx + C'} = e^C'e^−∫a(x)dx
En posant K = ±e^C' (une constante réelle non nulle) ou K=0 si y est la fonction nulle, on trouve les solutions de l'équation homogène y_h(x) = K e^-A(x) où A(x) est une primitive de a(x).
La constante K est un nombre réel arbitraire.

y_h(x) = K e^{-A(x)}

Solution de l'équation homogène

Étape 2 : Recherche d'une solution particulière

Il faut ensuite trouver une fonction y_p(x) qui est une solution de l'équation complète y' + a(x)y = b(x).
Il existe plusieurs méthodes pour cela :

Méthode par inspection : Si b(x) est simple (une constante, un polynôme, une exponentielle), on peut parfois

deviner

une solution particulière de la même forme. Par exemple, si b(x) est une constante, y_p peut être une constante.

Méthode de variation de la constante : C'est une méthode générale et systématique. On cherche y_p(x) sous la forme K(x)e^-A(x), où K(x) est maintenant une fonction de x. En dérivant et en substituant dans l'équation de départ, on trouve que K'(x) doit satisfaire : K'(x)e^-A(x) = b(x), d'où K'(x) = b(x)e^A(x). Il suffit alors d'intégrer K'(x) pour trouver K(x), et ainsi y_p(x).

K(x) = \int b(x)e^{A(x)}dx

Calcul de K(x) pour la solution particulière

Étape 3 : Solution Générale

La solution générale de l'équation complète est la somme de la solution homogène et d'une solution particulière :
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = K e^-A(x) + y_p(x)
La constante K est déterminée si une condition initiale est donnée (par exemple, y(x₀) = y₀). Sans condition initiale, la solution générale contient K comme paramètre.

y(x) = K e^{-A(x)} + y_p(x)

Solution générale

y1(x) = 2*exp(-x) + x - 1y2(x) = 0.5*exp(-x) + x - 1y3(x) = -1*exp(-x) + x - 1

Exemple de solutions pour y' + y = x (y_p = x-1, différentes valeurs de K)

Résumé des notions clés

A retenir :

Une équation différentielle linéaire du premier ordre s'écrit y' + a(x)y = b(x).
La première étape est de résoudre l'équation homogène y' + a(x)y = 0.
Les solutions de l'équation homogène sont de la forme y_h(x) = K e^-A(x), où A(x) est une primitive de a(x).
La deuxième étape est de trouver une solution particulière y_p(x) de l'équation complète.
La méthode de variation de la constante est générale pour trouver y_p(x), en posant K(x)e^-A(x).
La solution générale de l'équation complète est la somme de la solution homogène et d'une solution particulière : y(x) = y_h(x) + y_p(x).
La constante K est déterminée par une condition initiale si elle est fournie.
Les équations différentielles sont essentielles pour modéliser des phénomènes dynamiques en sciences.