Fonction
Une fonction est un processus mathématique qui, à chaque valeur d'un ensemble de départ (appelé ensemble de définition), associe une et une seule valeur d'un ensemble d'arrivée. On la note souvent $f: x \mapsto f(x)$ ou $y = f(x)$.
Ensemble de définition (ou domaine de définition)
C'est l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction $f(x)$ est définie (c'est-à-dire qu'un calcul est possible et donne un résultat réel). Il est noté $D_f$.
Image
Si $y = f(x)$, alors $y$ est l'image de $x$ par la fonction $f$. Chaque nombre $x$ de l'ensemble de définition a une unique image.
Antécédent
Si $y = f(x)$, alors $x$ est un antécédent de $y$ par la fonction $f$. Un nombre $y$ peut avoir plusieurs antécédents, un seul antécédent, ou aucun antécédent.
Comprendre ce qu'est une fonction
En mathématiques, une fonction est comme une « machine » qui prend un nombre en entrée, lui applique une règle de calcul, et fournit un unique nombre en sortie. Cette machine est déterminée par une formule (par exemple, $f(x) = 2x + 3$) ou parfois par un tableau de valeurs, voire une courbe. L'objectif est de comprendre comment cette machine fonctionne, ce qu'elle peut prendre en entrée et ce qu'elle produit en sortie.
L'ensemble de définition : les entrées autorisées
L'ensemble de définition $D_f$ d'une fonction $f$ regroupe toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles le calcul de $f(x)$ est possible et donne un résultat réel.
Il y a deux pièges principaux à éviter lors de la détermination d'un ensemble de définition :
Il y a deux pièges principaux à éviter lors de la détermination d'un ensemble de définition :
- La division par zéro : Si la fonction contient une fraction (un quotient), le dénominateur ne doit jamais être égal à zéro. Par exemple, pour $f(x) = \frac{1}{x-2}$, $x-2 \neq 0$, donc $x \neq 2$. L'ensemble de définition est $D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ (tous les nombres réels sauf 2).
- La racine carrée d'un nombre négatif : Si la fonction contient une racine carrée $\sqrt{A}$, l'expression sous la racine ($A$) doit toujours être positive ou nulle. Par exemple, pour $g(x) = \sqrt{x+3}$, $x+3 \ge 0$, donc $x \ge -3$. L'ensemble de définition est $D_g = [-3; +\infty[$.
Image et antécédent : les relations entrée-sortie
L'image d'un nombre
Pour trouver l'image d'un nombre $x$ par une fonction $f$, il suffit de remplacer $x$ par ce nombre dans l'expression de la fonction et d'effectuer le calcul. Par exemple, si $f(x) = x^2 - 1$, l'image de 3 est $f(3) = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$. L'image de $x$ est toujours unique.
Les antécédents d'un nombre
Pour trouver les antécédents d'un nombre $y$ par une fonction $f$, il faut résoudre l'équation $f(x) = y$. Contrairement à l'image, un nombre $y$ peut avoir plusieurs antécédents, un seul antécédent, ou aucun antécédent. Par exemple, si $f(x) = x^2$, pour trouver les antécédents de 9, on résout $x^2 = 9$, ce qui donne $x = 3$ ou $x = -3$. Il y a deux antécédents.
Représentation graphique d'une fonction
La représentation graphique d'une fonction $f$ est l'ensemble de tous les points du plan dont les coordonnées $(x; y)$ vérifient $y = f(x)$. Chaque point de la courbe correspond à un couple (antécédent ; image).
Pour lire l'image d'un nombre $x$ sur une courbe : on place $x$ sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) verticalement jusqu'à la courbe, puis on lit la valeur sur l'axe des ordonnées.
Pour lire les antécédents d'un nombre $y$ sur une courbe : on place $y$ sur l'axe des ordonnées, on trace une ligne horizontale jusqu'à la courbe, puis on lit la ou les valeurs sur l'axe des abscisses.
Pour lire l'image d'un nombre $x$ sur une courbe : on place $x$ sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) verticalement jusqu'à la courbe, puis on lit la valeur sur l'axe des ordonnées.
Pour lire les antécédents d'un nombre $y$ sur une courbe : on place $y$ sur l'axe des ordonnées, on trace une ligne horizontale jusqu'à la courbe, puis on lit la ou les valeurs sur l'axe des abscisses.
f(x) = x^2 - 4
Représentation graphique de la fonction f(x) = x^2 - 4
Sur le graphique ci-dessus, on peut voir que l'image de $x=0$ est $f(0) = -4$. Les antécédents de $y=0$ sont $x=-2$ et $x=2$.
A retenir :
Résumé des notions clés :
- Une fonction associe à chaque entrée (antécédent) une unique sortie (image).
- L'ensemble de définition ($D_f$) regroupe les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est calculable (éviter division par zéro et racine d'un négatif).
- L'image d'un nombre $x$ est $f(x)$, elle est unique et se calcule en remplaçant $x$.
- Les antécédents d'un nombre $y$ sont les $x$ tels que $f(x)=y$, ils peuvent être multiples, uniques ou inexistants.
- La représentation graphique d'une fonction $f$ est l'ensemble des points $(x; f(x))$.
- Sur une courbe, les images se lisent sur l'axe des ordonnées et les antécédents sur l'axe des abscisses.