Bienvenue dans cette fiche de révision sur les fonctions carrées et les polynômes de degré 2. Ces fonctions sont très importantes en mathématiques et te permettront de comprendre comment des courbes en forme de parabole sont construites et analysées.
Fonction carrée
La fonction qui, à tout nombre x, associe son carré x². Elle est notée f(x) = x².
Polynôme de degré 2
Une fonction de la forme f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels, et a est différent de zéro.
Parabole
La courbe représentative d'une fonction carrée ou d'un polynôme de degré 2. C'est une courbe symétrique en forme de 'U' ou de 'U' inversé.
Sommet
Le point le plus bas (minimum) ou le plus haut (maximum) d'une parabole.
Discriminant (Δ)
Un nombre calculé à partir des coefficients a, b, c d'un polynôme de degré 2 (Δ = b² - 4ac). Il permet de savoir combien de solutions l'équation ax² + bx + c = 0 possède.
La fonction carrée f(x) = x² 
La fonction carrée est définie pour tous les nombres réels. Elle associe à chaque nombre x son carré, c'est-à-dire x multiplié par lui-même. Par exemple, f(2) = 2² = 4 et f(-3) = (-3)² = 9.
Sa représentation graphique est une parabole dont le sommet est à l'origine du repère (0,0). Cette parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (l'axe vertical).
f(x) = x^2
Représentation graphique de la fonction carrée f(x) = x²
La fonction carrée est toujours positive ou nulle (x² ≥ 0). Son minimum est 0, atteint lorsque x = 0. Elle est décroissante sur l'intervalle des nombres négatifs (]-∞, 0]) et croissante sur l'intervalle des nombres positifs ([0, +∞[).
Les fonctions polynômes de degré 2 (ax² + bx + c) 
Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction qui peut s'écrire sous la forme f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels, et 'a' n'est jamais égal à zéro. Si a était égal à zéro, ce serait une fonction linéaire ou constante.
La représentation graphique d'un polynôme de degré 2 est aussi une parabole. Si le coefficient 'a' est positif (a > 0), la parabole est ouverte vers le haut (comme un 'U'). Si 'a' est négatif (a < 0), la parabole est ouverte vers le bas (comme un 'U' inversé).
Le sommet de la parabole est un point important. Son abscisse (sa coordonnée x) est donnée par la formule -b/(2a). C'est le point où la parabole change de sens de variation (elle passe de décroissante à croissante, ou l'inverse).
Pour savoir si l'équation ax² + bx + c = 0 a des solutions (c'est-à-dire si la parabole coupe l'axe des abscisses), on utilise le discriminant Δ.
Selon la valeur de Δ :
- Si Δ > 0 : L'équation a deux solutions distinctes. La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points.
- Si Δ = 0 : L'équation a une seule solution (dite 'double'). La parabole touche l'axe des abscisses en un seul point (son sommet est sur l'axe).
- Si Δ < 0 : L'équation n'a pas de solution réelle. La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.
A retenir :
En résumé :
- La fonction carrée est f(x) = x². Sa courbe est une parabole dont le sommet est à (0,0).
- Elle est toujours positive ou nulle, décroissante puis croissante.
- Un polynôme de degré 2 est de la forme f(x) = ax² + bx + c (avec a ≠ 0).
- Sa courbe est aussi une parabole. Elle s'ouvre vers le haut si a > 0, et vers le bas si a < 0.
- L'abscisse du sommet est donnée par -b/(2a).
- Le discriminant Δ = b² - 4ac indique le nombre de solutions de l'équation ax² + bx + c = 0 et donc le nombre de fois où la parabole coupe l'axe des abscisses.