Les cercles et les sphères sont des figures géométriques fondamentales. Un cercle est une figure plane, tandis qu'une sphère est une figure dans l'espace. Comprendre leurs équations cartésiennes permet de les décrire précisément et de les manipuler en géométrie.
Cercle
Ensemble des points d'un plan situés à une même distance (le rayon) d'un point fixe (le centre).
Sphère
Ensemble des points de l'espace situés à une même distance (le rayon) d'un point fixe (le centre).
Centre
Le point fixe à égale distance de tous les points du cercle ou de la sphère.
Rayon (R)
La distance constante entre le centre et n'importe quel point du cercle ou de la sphère. C'est un nombre réel strictement positif.
Équation cartésienne
Une équation qui décrit l'ensemble des points (x, y) ou (x, y, z) d'une figure géométrique dans un repère.
Le Cercle dans le Plan 
Un cercle est défini par son centre et son rayon. Si le centre est le point \(\Omega(x_0, y_0)\) et le rayon est R, alors tout point \(M(x, y)\) appartenant au cercle est à la distance R de \(\Omega\).
Équation cartésienne réduite d'un cercle
Si le centre du cercle est à l'origine \(O(0,0)\), l'équation devient plus simple : \(x^2 + y^2 = R^2\). En développant l'équation réduite, on obtient la forme générale de l'équation d'un cercle : \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\). Pour identifier un cercle à partir de cette forme, il faut s'assurer que les coefficients de \(x^2\) et \(y^2\) sont égaux (et souvent 1).
La Sphère dans l'Espace 
De manière similaire au cercle, une sphère est définie par son centre et son rayon, mais cette fois dans un espace à trois dimensions. Si le centre est le point \(\Omega(x_0, y_0, z_0)\) et le rayon est R, alors tout point \(M(x, y, z)\) de la sphère est à la distance R de \(\Omega\).
Équation cartésienne réduite d'une sphère
Si le centre de la sphère est à l'origine \(O(0,0,0)\), l'équation se simplifie : \(x^2 + y^2 + z^2 = R^2\). En développant l'équation réduite, on obtient la forme générale de l'équation d'une sphère : \(x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0\). Comme pour le cercle, les coefficients de \(x^2\), \(y^2\) et \(z^2\) doivent être égaux (et souvent 1) pour que l'équation représente une sphère.
A retenir :
- Un cercle est un ensemble de points dans un plan, à égale distance de son centre.
- Son équation réduite est \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2\).
- Une sphère est un ensemble de points dans l'espace, à égale distance de son centre.
- Son équation réduite est \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2\).
- Les équations générales sont obtenues en développant les formes réduites.
- Le centre et le rayon sont essentiels pour définir ces figures.