Calcul numérique: fractions, puissances et développement

Fraction

Une fraction est un nombre qui représente une ou plusieurs parties d'une unité divisée en parts égales. Elle s'écrit sous la forme \( \frac{a}{b} \), où \( a \) est le numérateur et \( b \) est le dénominateur (\( b \neq 0 \)).

Puissance

Une puissance est une opération mathématique notée \( a^n \) qui indique que le nombre \( a \) (appelé base) est multiplié par lui-même \( n \) fois (où \( n \) est l'exposant entier).

Développement

En algèbre, développer une expression signifie transformer un produit en une somme ou une différence de termes. Cela implique souvent d'utiliser la distributivité.

Les fractions : Manipuler les nombres rationnels

Les fractions sont partout en mathématiques et il est essentiel de maîtriser leurs propriétés pour les calculs. Voici les règles fondamentales :

Addition et soustraction de fractions

Pour additionner ou soustraire des fractions, elles doivent avoir le même dénominateur. Si ce n'est pas le cas, tu dois les réduire au même dénominateur commun, généralement le plus petit multiple commun (PPCM) de leurs dénominateurs.

\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} + \frac{cb}{bd} = \frac{ad+cb}{bd}

Multiplication de fractions

Multiplier des fractions est plus simple : tu multiplies les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Pense à simplifier la fraction obtenue si possible.

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}

Division de fractions

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. L'inverse d'une fraction \( \frac{c}{d} \) est \( \frac{d}{c} \).

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}

Simplification de fractions

Une fraction est simplifiée (ou irréductible) lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont pas de diviseur commun autre que 1. Pour simplifier, divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun (PGCD).

पावर Les puissances : Raccourcir les multiplications

Les puissances sont une écriture compacte de multiplications répétées. Voici les règles de calcul essentielles :

Définition et cas particuliers

\( a^n = a \times a \times \dots \times a \) (n fois)
\( a^1 = a \)
\( a^0 = 1 \) (pour \( a \neq 0 \))
\( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) (pour \( a \neq 0 \))

Opérations sur les puissances

Multiplication : Lorsque les bases sont identiques, tu additionnes les exposants.
\( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
Division : Lorsque les bases sont identiques, tu soustrais les exposants.
\( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
Puissance d'une puissance : Tu multiplies les exposants.
\( (a^m)^n = a^{m \times n} \)
Puissance d'un produit : La puissance se distribue sur chaque facteur.
\( (a \times b)^n = a^n \times b^n \)
Puissance d'un quotient : La puissance se distribue sur le numérateur et le dénominateur.
\( \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \)

Développer des expressions : Transformer les produits

Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme ou une différence. C'est une compétence fondamentale en algèbre, souvent utilisée pour simplifier ou résoudre des équations.

La distributivité simple

C'est la règle de base : un facteur multiplie chaque terme à l'intérieur de la parenthèse.

k(a+b) = ka + kb

La double distributivité

Lorsque tu multiplies deux expressions entre parenthèses, chaque terme de la première parenthèse doit multiplier chaque terme de la seconde.

(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd

Les identités remarquables

Ce sont des cas particuliers de double distributivité très fréquents. Les connaître par cœur te fera gagner beaucoup de temps.

Carré d'une somme : \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
Carré d'une différence : \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
Produit d'une somme par une différence : \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \)

A retenir :

Résumé des notions clés

Fractions : Même dénominateur pour addition/soustraction ; multiplier numérateurs et dénominateurs pour la multiplication ; multiplier par l'inverse pour la division. Simplifie toujours au maximum.
Puissances : Additionne les exposants pour la multiplication de mêmes bases (\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)); soustrais-les pour la division (\(a^m / a^n = a^{m-n}\)).
Puissance de puissance : Multiplie les exposants (\((a^m)^n = a^{mn}\)).
Exposants spéciaux : \(a^0 = 1\), \(a^1 = a\), \(a^{-n} = 1/a^n\).
Développement : Utilise la distributivité simple (\(k(a+b)=ka+kb\)) ou double (\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\)).
Identités remarquables : Maîtrise \((a+b)^2\), \((a-b)^2\) et \((a-b)(a+b)\) pour développer rapidement et sans erreur.