Calcul des Incertitudes Composées

L'incertitude composée est une méthode pour calculer l'incertitude totale sur une grandeur que l'on ne mesure pas directement. On utilise le calcul différentiel pour estimer comment les incertitudes de chaque mesure se propagent à la grandeur finale.

Incertitude composée

L'incertitude sur une grandeur calculée à partir de plusieurs mesures indirectes.

Mesure indirecte

Mesure d'une grandeur obtenue par le calcul à partir d'autres grandeurs mesurées directement (ex: volume d'un cylindre à partir de son diamètre et sa hauteur).

Différentielle

Représente une très petite variation d'une grandeur ou d'une fonction. On la note dx pour une variable x, et df pour une fonction f.

Dérivée partielle

Dérivée d'une fonction à plusieurs variables par rapport à une seule de ces variables, en considérant les autres comme des constantes.

La mesure indirecte et le besoin des différentielles

Quand on mesure le volume d'un cylindre, on ne le mesure pas directement. On mesure son diamètre (D) et sa hauteur (H). Le volume V est ensuite calculé avec la formule V = (π/4)D²H. Si D et H ont des incertitudes, comment trouver l'incertitude sur V ? Il faut un outil pour propager ces incertitudes : les différentielles.

Comprendre les différentielles

Pour une fonction à une variable

Pour une fonction y = f(x), la dérivée f'(x) est le rapport de la petite variation de y (notée df) sur la petite variation de x (notée dx). On écrit :

f'(x) = \frac{df}{dx}

Cela signifie que la variation de la fonction, df, est égale à la dérivée multipliée par la variation de la variable :

df = f'(x) dx

Par exemple, si le volume d'une sphère est V(x) = (4π/3)x³, où x est le rayon. La différentielle dV est la dérivée de V(x) par rapport à x, multipliée par dx. La dérivée de x³ est 3x², donc dV = (4π/3) * 3x² dx = 4πx² dx.

Pour une fonction à plusieurs variables

Quand une fonction dépend de plusieurs variables, par exemple f(x,y), on utilise les dérivées partielles. La différentielle totale df est la somme des contributions de chaque variable :

df = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{y=cst} dx + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_{x=cst} dy

Les termes (∂f/∂x) et (∂f/∂y) sont les dérivées partielles. Pour des fonctions simples :

Pour une somme ou différence f(x,y) = λx ± κy : df = λdx ± κdy
Pour un produit de puissances f(x,y) = λx^αy^β : df = f(x,y) * (α(dx/x) + β(dy/y))

Calculer l'incertitude composée

L'incertitude composée u_c(f) est calculée à partir des différentielles et des incertitudes sur chaque variable. On utilise la racine carrée de la somme des carrés des incertitudes pondérées par les dérivées.

Formules pour une variable

Si f(x) est une fonction d'une seule variable x, l'incertitude composée est :

u_c(f) = \sqrt{ (f'(x))^2 u_c(x)^2 } = |f'(x)| u_c(x)

Par exemple :

Si f(x) = λx, alors u_c(f) = |λ| u_c(x)
Si f(x) = λx^α, alors u_c(f) = |λαx^α-1| u_c(x)

Formules pour plusieurs variables

Si f(x,y) est une fonction de plusieurs variables x et y, l'incertitude composée est :

u_c(f) = \sqrt{ \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 u_c(x)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2 u_c(y)^2 }