La fonction logarithme népérien, notée ln, est un outil mathématique qui permet de simplifier des calculs et des expressions complexes. Elle est très utile pour transformer des multiplications en additions et des divisions en soustractions, ce qui facilite la résolution de nombreux problèmes.
Logarithme népérien (ln)
Une fonction mathématique qui transforme les produits en sommes, les quotients en différences et les puissances en produits. Elle est définie pour les nombres strictement positifs.
Base e
Le nombre 'e' est une constante mathématique fondamentale, environ égale à 2,718. C'est la base du logarithme népérien, ce qui signifie que ln(e) = 1.
Simplification d'expression
Action de rendre une expression mathématique plus simple, plus courte ou plus facile à manipuler en utilisant les propriétés des fonctions.
Calcul numérique
Opération qui consiste à obtenir une valeur chiffrée (un nombre) à partir d'une expression mathématique, souvent en utilisant des valeurs approchées.
Les propriétés fondamentales de ln
Les propriétés du logarithme népérien sont essentielles pour manipuler les expressions. Elles permettent de réécrire des termes complexes sous une forme plus simple. Voici les principales règles à connaître :
Propriété du produit
Propriété du quotient
Propriété de la puissance
À partir de ces règles, on peut en déduire d'autres :
- ln(1/a) = -ln(a) (car ln(1/a) = ln(1) - ln(a) = 0 - ln(a))
- ln(√a) = 1/2 ln(a) (car √a = a^(1/2))
- ln(1) = 0
- ln(e) = 1
Résumé des propriétés du logarithme népérien
Simplifier des expressions avec ln
Utiliser les propriétés permet de réécrire des expressions de ln sous une forme plus simple, souvent en fonction de ln(2) ou ln(3) si les nombres sont des multiples de 2 ou 3.
Exemples de simplification :
- ln(36) : On sait que 36 = 2² × 3². Donc, ln(36) = ln(2² × 3²) = ln(2²) + ln(3²) = 2ln(2) + 2ln(3).
- ln(8) + ln(32) : On sait que 8 = 2³ et 32 = 2⁵. Donc, ln(8) + ln(32) = ln(2³) + ln(2⁵) = 3ln(2) + 5ln(2) = 8ln(2).
- ln(64) - ln(4) : On sait que 64 = 2⁶ et 4 = 2². Donc, ln(64) - ln(4) = ln(2⁶) - ln(2²) = 6ln(2) - 2ln(2) = 4ln(2).
- ln(16) - 3ln(2) : On sait que 16 = 2⁴. Donc, ln(16) - 3ln(2) = ln(2⁴) - 3ln(2) = 4ln(2) - 3ln(2) = ln(2).
- ln(9/8) : On sait que 9 = 3² et 8 = 2³. Donc, ln(9/8) = ln(3²/2³) = ln(3²) - ln(2³) = 2ln(3) - 3ln(2).
Effectuer des calculs numériques
Une fois les expressions simplifiées, on peut calculer des valeurs approchées en utilisant les valeurs connues de ln(2) ou ln(5). Le document nous donne les valeurs approchées suivantes : ln(2) ≈ 0,69 et ln(5) ≈ 1,61.
Exemples de calculs :
- ln(5 × 7) : ln(5 × 7) = ln(5) + ln(7). Si on utilise ln(7) ≈ 1,946 (valeur donnée dans le document), alors 1,609 + 1,946 = 3,555.
- ln(5/7) : ln(5/7) = ln(5) - ln(7) = 1,609 - 1,946 = -0,336.
- ln(7²) : ln(7²) = 2ln(7) = 2 × 1,946 = 3,892.
- ln(10) : On sait que 10 = 2 × 5. Donc, ln(10) = ln(2) + ln(5) ≈ 0,69 + 1,61 = 2,3.
- ln(0,1) : On sait que 0,1 = 1/10. Donc, ln(0,1) = ln(1/10) = -ln(10) ≈ -2,3.
- ln(0,2) : On sait que 0,2 = 2/10 = 1/5. Donc, ln(0,2) = ln(1/5) = -ln(5) ≈ -1,61.
- ln(20) : On sait que 20 = 2 × 10 = 2 × 2 × 5 = 2² × 5. Donc, ln(20) = ln(2²) + ln(5) = 2ln(2) + ln(5) ≈ 2 × 0,69 + 1,61 = 1,38 + 1,61 = 2,99.
A retenir :
- Le logarithme népérien (ln) est une fonction qui simplifie les expressions mathématiques.
- Les trois propriétés clés sont : ln(ab) = ln(a) + ln(b), ln(a/b) = ln(a) - ln(b), et ln(aⁿ) = n ln(a).
- Il faut aussi retenir que ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
- Ces propriétés permettent de simplifier des expressions en les réécrivant, souvent en fonction de ln(2) ou ln(3).
- On peut ensuite calculer des valeurs numériques approchées en remplaçant ln(2) et ln(5) par leurs valeurs données.