Ajustement affine et droite de régression

Nuage de points

Un nuage de points est la représentation graphique de couples de données (xᵢ ; yᵢ) dans un repère. Chaque point représente une observation, où xᵢ est la valeur d'une première variable et yᵢ la valeur d'une seconde variable associée.

Ajustement affine

L'ajustement affine (ou ajustement linéaire) consiste à modéliser la relation entre deux variables statistiques par une droite. Cette droite est censée représenter au mieux la tendance générale du nuage de points, même si tous les points ne sont pas parfaitement alignés.

Droite de régression

La droite de régression est la droite qui minimise la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées (yᵢ) et les valeurs prédites par le modèle (yᵢ'). C'est la droite 'la plus proche' des points du nuage selon le critère des moindres carrés.

Représentation d'un nuage de points

Lorsque l'on étudie deux variables statistiques liées (par exemple, le nombre d'heures de révision et la note obtenue à un examen, ou l'âge d'une voiture et sa valeur de revente), il est souvent utile de visualiser leur relation. Pour cela, on utilise un nuage de points. Chaque couple de données (xᵢ ; yᵢ) est représenté par un point dans un repère orthogonal. L'ensemble de ces points forme le nuage.
L'objectif est d'observer s'il existe une tendance générale : les points semblent-ils s'aligner sur une droite, une courbe, ou sont-ils dispersés de manière aléatoire ? Si les points tendent à s'aligner, on parle alors d'une corrélation linéaire.

L'ajustement affine : pourquoi et comment ?

Si le nuage de points suggère une relation linéaire, on cherche à modéliser cette relation par une droite, appelée droite d'ajustement affine. Cette modélisation permet de :

Prévoir des valeurs : Estimer la valeur d'une variable si l'on connaît l'autre. Par exemple, quelle sera la note avec tant d'heures de révision ?
Décrire la relation : Quantifier la force et la direction de la relation (positive ou négative).

Il existe plusieurs méthodes pour déterminer cette droite. La plus courante et rigoureuse est la méthode des moindres carrés, qui aboutit à la droite de régression.

La droite de régression par la méthode des moindres carrés

La méthode des moindres carrés permet de trouver la droite d'équation y = ax + b qui minimise la somme des carrés des résidus (les écarts verticaux entre les points observés et la droite). C'est cette droite que l'on appelle droite de régression.
Les coefficients 'a' (pente) et 'b' (ordonnée à l'origine) sont calculés à partir des données (xᵢ ; yᵢ) en utilisant les formules suivantes :

a = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2} = \frac{Cov(X,Y)}{V(X)}

Coefficient directeur 'a'

b = \overline{y} - a \overline{x}

Ordonnée à l'origine 'b'

où :

\( \overline{x} \) et \( \overline{y} \) sont les moyennes des variables X et Y.
\( Cov(X,Y) \) est la covariance entre X et Y.
\( V(X) \) est la variance de X.

Il est important de noter que la droite de régression passe toujours par le point moyen \( (\overline{x} ; \overline{y}) \) du nuage de points. En pratique, ces calculs sont généralement effectués à l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel.

Poi(x) = if(x == 1, 2, if(x == 2, 3, if(x == 3, 4.5, if(x == 4, 5.5, if(x == 5, 6.5, if(x == 6, 7.5, if(x == 7, 8.5, 0)))))))Rég(x) = 1.1 * x + 1

Exemple de nuage de points et de droite de régression (y = 1.1x + 1)

Qualité de l'ajustement : le coefficient de corrélation

Pour évaluer à quel point l'ajustement affine est pertinent, on utilise le coefficient de corrélation linéaire (r). Il mesure la force et la direction de la relation linéaire entre deux variables. Sa valeur est toujours comprise entre -1 et 1 :

Si r est proche de 1, la corrélation est forte et positive : quand X augmente, Y augmente.
Si r est proche de -1, la corrélation est forte et négative : quand X augmente, Y diminue.
Si r est proche de 0, il n'y a pas de corrélation linéaire. Cela ne signifie pas qu'il n'y a aucune relation, mais qu'elle n'est pas de type linéaire.

Un coefficient de corrélation élevé (proche de 1 ou -1) justifie l'utilisation d'un ajustement affine. S'il est faible, il faut se méfier des prévisions issues de la droite de régression.

A retenir :

Résumé pour la révision rapide :

Nuage de points : Représentation graphique des couples de données pour visualiser une tendance.
Ajustement affine : Modélisation d'une relation linéaire par une droite si le nuage le suggère.
Droite de régression : La meilleure droite d'ajustement, calculée par la méthode des moindres carrés.
Passe par le point moyen : La droite de régression passe toujours par \( (\overline{x} ; \overline{y}) \).
Coefficient de corrélation (r) : Mesure la force et la direction de la relation linéaire (entre -1 et 1).
Prévisions : La droite permet de faire des estimations, mais attention à ne pas extrapoler trop loin des données observées.